BARISAN DAN DERET ARITMATIKA DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

Barisan aritmatika adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui penjumlahanatau pengurangan dengan suatu bilangan. Selisih atau beda antara nilai suku-suku yang berdekatan selalu sama yaitu b. Nilai suku pertama dilambangkan dengan a.

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan arimatika dapat dihitung dengan rumus berikut.

Sedangkan untuk pengertian dari Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dari barisan aritmatika.

Penjumlahan dari suku-suku pertama sampai suku ke-n barisan aritmatika dapat dihitung dengan rumus berikut.

atau jika kita substitusikan maka

Supaya tidak bingung lantaran menghadapi terlalu banyak rumus, coba perhatikan contoh latihan soal di bawah ini deh.

Contoh Soal 1:

Suku ke-40 dari barisan 7, 5, 3, 1, … adalah …

Pembahasan:

Diketahui: a = 7
b = –2
ditanya 

Jawab:


= 7 + 39 . (-2)
= 7 + (-78)
= – 71
Jadi, suku ke-40 barisan aritmatika tersebut adalah –71.

Contoh Soal 2:

Rumus suku ke-n dari barisan 5, –2, –9, –16, … adalah …

Pembahasan:

Diketahui: a = 5

b = –7

Ditanya: rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut = ?

Jawab:

Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut adalah 

Contoh Soal 3:

Dalam suatu gedung pertunjukkan disusun kursi dengan baris paling depan terdiri dari 12 kursi, baris kedua berisi 14 kursi, baris ketiga berisi 16 kursi, dan seterusnya. Banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah …

Pembahasan:

Diketahui: a = 12

b = 2

Ditanyakan 

Jawab:

Jadi, banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah 50 kursi.

Contoh Soal 4:

Rumus jumlah n suku pertama deret bilangan 2 + 4 + 6 + … +  adalah …

Pembahasan:

Diketahui: a = 2

b = 2

Ditanya: rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika tersebut = ?

Jawab:

Jadi, rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika tersebut adalah 

Contoh Soal 5:

Diketahui deret aritmatika dengan suku ke-3 adalah 24 dan suku ke-6 adalah 36. Jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah …

Pembahasan:

Diketahui 

Ditanya: 

Jawab:

Sebelum kita mencari nilai dari , kita akan mencari nilai a dan b terlebih dahulu dengan cara eliminasi dan subtitusi dari persamaan  dan .

Sebelumnya mari ingat lagi bahwa  sehingga  dan  dapat ditulis menjadi 

 . . .(i)


 . . .(ii)

Eliminasi a menggunakan persamaan i dan ii.

a + 2b = 24
a + 5b = 36   –
-3b = -12

b = 4

Lalu, substitusikan nilai b = 4 ke salah satu persamaan (contoh persamaan i).

a + 2b = 24

a + 2 . 4 = 24

a + 8 = 24

        a= 24 – 8

        a = 16

Setelah mendapatkan nilai a dan b, baru kita bisa mencari nilai dari 

Jadi, jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah 660.

BARISAN DAN DERET GEOMETRI DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

 

BARISAN DAN DERET GEOMETRI 

DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

Barisan aritmatika merupakan barisan bilangan dengan pola yang tetap berdasarkan operasi penjumlahan dan pengurangan. Selisih antara dua suku berurutan pada barisan aritmetika disebut beda yang dilambangkan dengan b. Rumus untuk menentukan beda pada barisan aritmetika adalah sebagai berikut. 

Keterangan:
b = beda;
Un= suku ke-n;
Un+1= suku sebelum suku ke-n; dan
n= banyaknya suku.

Deret aritmetika berkaitan dengan barisan aritmetika. Deret aritmetika yang disimbolkan dengan Sn merupakan jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Dengan kata lain, penjumlahan dari suku-suku barisan aritmetika disebut dengan deret aritmetika.

CONTOH SOAL : 

Soal ❶
Diketahui suatu barisan aritmetika:

-2, 3, 8, 13, 18, 23, . . .
Tentukan suku ke-50
Pembahasan:
Dari soal diketahui: a = -2 dan b = 8 - 3 = 5
Un = a + (n - 1)b
U50 = -2 + (50 - 1).5

U50 = -2 + (49).5
U50 = -2 +  245
U50 = 243

Soal ❷

Suku ke-6 suatu barisan aritmatika adalah 24.000 dan suku ke-10 adalah 18.000. Supaya suku ke-n sama dengan 0, maka nilai n adalah....

Pembahasan:
U6 =   a + 5b = 24.000 
U10 = a + 9b = 18.000 -
               -4b = 6.000
                  b = -1.500

a + 5b = 24.000
a = 24.000 - 5b
a = 24.000 - 5(-1.500)
a = 24.000 + 7.500
a = 31.500

Diketahui Un = 0
⇔ a + (n - 1)b = 0
⇔ 31.500 + (n - 1).(-1.500) = 0
⇔ 31.500 - 1.500n + 1.500 = 0
⇔ 1.500n = 33.000
⇔ n = 22
Jadi, agar Un = 0, maka nilai n = 22

Soal ❸

Dari sebuah deret hitung diketahui suku ketiga sama dengan 9, sedangkan jumlah suku kelima dan ketujuh sama dengan 36. Jumlah 10 suku pertama adalah...
Pembahasan:

Un = a + 2b = 9 ......................................(1)
U5 + U7 = 36
⇔ (a + 4b) + (a + 6b) = 36
⇔ 2a + 10b = 36
⇔ a + 5b = 18......................................(2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh:
a + 2b = 9
a + 5b = 18 -
    -3b = -9
       b = -9/-3
       b = 3

Subtitusi nilai b = 3 ke persamaan (1) diperoleh:
a + 2b = 9
a = 9 - 2b
a = 9 - 2.3
a = 3

Sn = n/2 {2a + (n - 1)b}
S10 = 10/2 {2.3 + (10 - 1).3}
S10 = 5 . (33)
S10 = 165
Jadi, jumlah 10 suku pertamanya adalah 165

Soal ❹
Diketahui barisan aritmatika 5, 8, 11, ..., 125, 128, 131. Suku tengahnya adalah......
Pembahasan:
Barisan aritmatika: 5, 8, 11, ..., 125, 128, 131
Suku pertama, a = 5
beda, b = 8 - 5 = 3
Suku ke-n = 131
Suku tengah, Ut = 1/2(a + Un)
                            = 1/2 (5 + 131)
                            = 1/2 (136)
                            = 68

Soal ❺
Jumlah semua bilangan-bilangan bulat di antara 100 dan 300 yang habis dibagi 5 adalah....
Pembahasan:
Barisan bilangan di antara 100 dan 300 yang habis dibagi 5 adalah 105, 110, 115,..., 295
Suku pertama (a) = 105, beda (b) = 5 dan Un = 295
Un = a + (n - 1)b
⇔ 295 = 105 + (n - 1).5
⇔ 295 = 105 + 5n - 5
⇔ 295 = 100 + 5n
⇔ 5n = 295 - 100
⇔ 5n = 195
⇔ n = 195/5 = 39

Sn = n/2 (a + Un)
S39 = 39/2 (105 + 295)
        = 39/2 (400)
        = 7.800
Jadi, jumlah semua bilangan diantara 100 dan 300 yang habis dibagi 5 adalah 7.800