materi pembelajaran matematka yang disukai pada semester tahun ini: Agustus 2020

Minggu, 30 Agustus 2020

Matriks XI SMA

Matriks

1. Pengertian matriks

Matriks adalah susunan, bilangan, simbol, atau ekspresi, yang disusun dalam baris dan kolom sehingga membentuk suatu bangun persegi. Beberapa hal yang perlu kita ketahui yaitu notasi pada matriks harus huruf kapital sedangkan unsur-unsur atau elemennya harus huruf kecil. Suatu matriks biasa ditulis didalam tanda kurung lengkung "( )" atau kurung siku "[ ]".

Matriks merupakan kumpulan bilangan, simbol atau ekspresi berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat pada suatu matriks disebut dengan elemen atau disebut juga anggota dari suatu matriks.

Matriks didefinisikan sebagai sekelompok bilangan di dalam sebuah jajaran berbentuk persegi panjang yang diatur berdasarkan baris dan kolom serta terletak di antara dua tanda kurung. Fungsi tanda kurung adalah untuk mengapit susunan anggota matriks. Bentuk tanda kurung bisa berupa kurung biasa maupun kurung siku. Bilangan pada matriks disebut unsur atau elemen matriks. Berdasarkan susunannya, kumpulan elemen matriks dibedakan menjadi dua macam, yaitu

baris: kumpulan elemen matriks yang tersusun secara mendatar (horizontal)
kolom: kumpulan elemen matriks yang tersusun secara tegak (vertikal).

Selain baris dan kolom, di dalam matriks, dikenal juga istilah ‘ordo’. Ordo matriks adalah bilangan yang menunjukkan jumlah baris (m) dan kolom (n) yang ada pada matriks tersebut. Sebuah matriks biasanya ditulis menggunakan huruf kapital dan tebal. Matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut dengan matrik m x n dan dinamakan matriks dengan ordo m x n.

2. Macam macam matriks

1. Matriks Transpos

Matriks transpos ialah matriks yang menukar baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Matriks transpos biasa dilambangkan dengan t. Contohnya matriks A berikut :

2. Matriks Simetri

Matriks simetri ialah suatu matriks dimana matriks transposnya memiliki unsur elemen yang sama. Contohnya sebagai berikut :

3. Matriks Persegi

Matriks persegi ialah suatu matriks yang memiliki ordo yang sama. Contohnya matriks A ordo 2x2 dan B ordo 3x3 berikut :

4. Matriks Segitiga Atas dan Bawah

Matriks segitiga atas ialah matriks dimana unsur atau elemen dibawah diagonal utamanya bernilai 0. Contohnya sebagai berikut :

Sedangkan matriks segitiga bawah merupakan kebalikan dari matrik atas dimana, diatas diagonal utamanya selalu bernilai 0. Contohnya sebagai berikut :

5. Matriks Diagonal

Matriks diagonal ialah matriks dimana unsur selain diagonal utamanya bernilai 0. Contohnya sebagai berikut :

6. Matriks Identitas

Matriks identitas ialah matriks yang diagonal utamanya selalu bernilai 1. Contohnya sebagai berikut :

7. Matriks Baris

Matriks baris adalah matriks yang hanya memiliki satu baris dan biasanya berordo 1 x n. Contohnya sebagai berikut :

8. Matriks Kolom

Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom sehingga disebut matriks berordo m x 1. Contohnya sebagai berikut :

9. Matriks Skalar

Matriks skalar adalah matriks yang diagonal utamanya terdiri dari elemen yang sama, sedangkan elemen lainnya adalah nol. Contohnya sebagai berikut :

10. Matriks Nol

Matriks nol adalah matriks yang semua elemen pada matriks adalah bilangan nol.

3. Operasi matriks

1. Penjumlahan Matriks

Syarat pada penjumlahan matriks ialah harus memiliki ordo yang sama, dan menambahkan pada posisi atau letak yang sama. Contohnya sebagai berikut :

2. Pengurangan Matriks

Syarat pada pengurangan matriks juga sama dengan penjumlahan. Misal matriks C adalah pengurangan matriks A dan B, perlu kita ketahui bahwa matriks pengurangan ialah sama dengan penambahan Matriks A dengan perkalian skalar -1 dengan matriks B.

"C=A-B" sama dengan "C = A+ [-1] B"

Contoh pengurangan matriks sebagai berikut :

3. Perkalian Matriks

Operasi Hitung pada Matriks dan Sifat-sifatnya

Perkalian Matriks dengan Skalar

Pada perkalian matriks dengan skalar caranya yaitu mengalikan nilai skalar dengan semua letak matriks. Contohnya sebagai berikut :

Perkalian Matriks dengan Matriks

Syarat pada perkalian matriks ialah jumlah kolom pada matriks pertama sama dengan jumlah baris pada matriks kedua. Contohnya sebagai berikut perkalian A2x3 dan 3x3 :

4. Contoh soal matriks

1. Diketahui matriks

dan

Jika A = B, maka a + b + c =….

A. − 7

B. − 5

C. − 1

D. 5

E. 7

Pembahasan :

Kesamaan dua matriks:

4a = 12

a = 3

3a = − 3b

−3a = − 3b

−3(3) = − 3b

−9 = − 3b

b = 3

3c = b

3c = 3

c = 1

a + b + c = 3 + ( 3) + ( 1) = 7

2. Diketahui matriks

Memenuhi AX = B, tentukan matriks X

Pembahasan :

Jika AX = B, maka untuk mencari X adalah

X = A−1 B

Cari invers matriks A terlebih dahulu, setelah ketemu kalikan dengan matriks B

AX = B maka X = A−1 B

XA = B maka X = B A−1

5. Daftar pustaka

http://rumus-matematika.com/materi-matriks-lengkap-dan-contohnya/
https://www.materipelajaran.web.id/2018/01/pengertian-matriks-jenis-dan-operasi-matriks.html
https://www.belajarmtk.com/pengertian-matriks-dan-macam-macam-matriks/
https://matematikauniversitas.blogspot.com/2013/03/macam-macam-matriks.html
https://idschool.net/sma/operasi-hitung-penjumlahan-pengurangan-perkalian-matriks/
https://contoh123.info/51-contoh-soal-dan-pembahasan-operasi-matriks/

Senin, 24 Agustus 2020

SOAL CERITA UNTUK MENENTUKAN NILAI OPTIMUM

Diketahui:

Dengan persediaan kain polos 20 m dan kain bergaris 10 m, Dewi akan membuat 2 model pakaian jadi. Model I memerlukan tidak lebih dari 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris. Model II memerlukan tidak lebih dari 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Bila pakaian tersebut dijual, setiap model I memperoleh untung tidak kurang dari Rp. 15.000,00 dan model II memperoleh untung tidak kurang dari Rp. 10.000,00.

Ditanya:

Laba yang diperoleh Dewi adalah sebanyak...? Buat Pertidaksamaannya dulu baru table setelah itu daerah kotor dan daerah bersihnya, himpunan penyelesaian, titik pojok untuk menentukan nilai optimalnya dan laba Dewi dari nilai tertinggi yang diperoleh …

Jawab:

Senin, 10 Agustus 2020

Daerah Bersih dan Daerah Kotor ( Program Linear )

Daerah Bersih dan Daerah Kotor

( Program Linear )

Nama : Fransiska Oktaviana Putri

No.Absen : 12

Kelas : XI IPS 3

Senin 10 Agustus 2020

Gambar daerah bersih dan daerah kotor dari pertidak samaan 3x + 2y $\large \le$ 12, 5x + 3y < 19, x $\large \ge$ 0, y > 0 dan simpulkan himpunan penyelesaiannya !

3x + 2y $\large \le$ 12
x = 0 ➡ 3.0 + 2y = 12
2y = 12
y = 6
(0,6)
y = 0 ➡ 3x + 2.0 = 12
3x = 12
x = 4
(4,0)

5x + 3y < 19
x = 0 ➡ 5.0 + 3y = 19
3y = 19
y = 6,3
(0, 6,3)
y = 0 ➡ 5x + 3.0 = 19
5x = 19
x = 3,8
(3,8, 0)

x $\large \ge$ 0

y > 0

Gambar Daerah Kotor

Gambar Daerah Bersih

Kesimpulan :

Kalau daerah kotor, maka himpunan penyelesaian adalah daerah yang mengalami banyak arsiran, sedangkan bila menggunakan daerah bersih maka daerah penyelesaian adalah daerah yang tidak terkena arsiran.

Daftar Pustaka

https://yos3prens.wordpress.com/2012/11/25/program-linear-menggambar-daerah-penyelesaian-sistem-pertidaksamaan-linear-dua-variabel/

https://googebra.blogspot.com/2016/12/menentukan-daerah-penyelesaian-sistem.html?m=1

Minggu, 02 Agustus 2020

Program Linear

PROGRAM LINEAR

Fransiska Oktaviana Putri (12)

XI IPS 3

Senin 03 Agustus 2020

1. PENGERTIAN PROGRAM LINEAR :

Program Linear merupakan program yang digunakan sebagai metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal dan minimum) dapat diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaian persoalan linear.Di dalam persoalan linear tersebut terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif. Persyaratan, batasan, dan kendala dalam persoalan linear adalah merupakan sistem pertidaksamaan linear.

2. MODEL MATEMATIKA PROGRAM LINEAR :

Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah kedalam sebuah model matematika.

Model matematika adalah pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika.

Sebagai gambaran:

Sebuah produsen sepatu membuat 2 model sepatu menggunakan 2 bahan yang berbeda. Komposisi model yang pertama terdiri dari 200 gr bahan pertama dan bahan kedua 150 gr. Sedangkan komposisi model kedua tersebut terdiri dari 180 gr bahan pertama dan 170 gr bahan kedua. Persediaan di gudang bahan pertama 76 kg dan persediaan digudang untuk bahan kedua 64 kg. Harga model pertama ialah Rp. 500.000,00 dan untuk model kedua harganya Rp. 400.000,00.

Apabila disimpulkan atau disederhanakan ke dalam bentuk tabel akan menjadi sebagai berikut :

Dengan peubah dari jumlah optimal model 1 ialah x dan model 2 ialah y, serta hasil penjualan optimal ialah f(x, y) = 500.000x + 400.000y. Dengan beberapa syarat :

Apabila jumlah maksimal bahan 1 yaitu 72.000 gr, maka 200x + 150y ≤ 72.000.
Apabila jumlah maksimal bahan 2 yaitu 64.000 gr, maka 180x + 170y ≤ 64.000
Masing-masing dari setiap model harus terbuat.

Model matematika untuk mendapatkan jumlah penjualan yang maksimum yaitu :

3. NILAI OPTIMUM FUNGSI OBJEKTIF :

Fungsi objektif yaitu fungsi linear dan batasan-batasan pertidaksamaan linear yang memiliki sebuah himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian yang ada ialah berupa titik-titik dalam diagram cartesius yang apabila koordinatnya disubstitusikan kedalam fungsi linear maka dapat memenuhi persyaratan yang ditentukan.

Nilai optimum fungsi objektif dari suatu persoalan linear bisa ditentukan dengan menggunakan metode grafik. Dengan melihat grafik dari fungsi objektif dan batasan-batasannya, maka kita bisa tentukan letak titik yang menjadi nilai optimum.

Langkah-langkahnya yaitu sebagai berikut :

Menggambar himpunan penyelesaian dari semua batasan syarat yang ada pada cartesius.
Menentukan titik-titik ekstrim yang merupakan perpotongan pada garis batasan dengan garis batasan yang lainnya. Titik-titik ekstrim tersebut adalah himpunan penyelesaian dari batasannya dan memiliki suatu kemungkinaan besar akan membuat fungsi menjadi optimum.
Meneliti nilai optimum fungsi objektif dengan dua acara, yaitu :Menggunakan garis selidik dan Membandingkan nilai fungsi objektif pada tiap titik ekstrim

1. Menggunakan Garis Selidik

Garis selidik dapat diperoleh dari fungsi objektif f(x, y) = ax + by yang mana garis selidiknya ialah:

ax + by = Z

Nilai Z diberikan sembarang nilai.

Garis ini dibuat setelah grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaannya juga dibuat.

Berikut adalah pedoman untuk mempermudah penyelidikian nilai fungsi optimum:

Cara ke-1 (syarat a>0), yaitu :

Apabila maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kiri garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut ialah titik maksimum.
Apabila minimum, maka dibuatlah garis yang sejajar garis selidik awal sehingga akan membuat suatu himpunan penyelesaian berada di kanan garis tersebut.

Titik yang dilalui garis tersebut ialah titik minimum.

Perhatikan grafik dibawah :

Cara ke-2 (syarat b>0), yaitu :

Apabila maksimum: maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di bawah garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut ialah titik maksimum.
Apabila minimum: maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di atas garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut ialah titik minimum.

Perhatikanlah grafik dibawah berikut :

Bagi nilai a>0 dan b>0 maka berlaku sebuah kebalikan dari kedua cara yang dijelaskan di atas.

2. Membandingkan Nilai Fungsi Tiap Titik Ekstrim

Menyelidiki nilai optimum dari fungsi objektif juga dapat dilaksanakan dengan terlebih dahulu menentukan titik-titik potong dari suatu garis-garis batas yang ada. Titik-titik potong tersebut merupakan nilai ekstrim yang berpotensi memiliki nilai maksimum pada salah satu titiknya.

Berdasarkan titik-titik tersebut, maka dapat ditentukan nilai masing-masing fungsinya, yakni kemudian dibandingkan.

Nilai terbesar merupakan nilai maksimum dan nilai terkecil adalah merupakan nilai minimum.

4. LANGKAH-LANGKAH PROGRAM LINEAR

Berikut ini merupakan langkah-langkah dalam melakukan optimasi menggunakan teknik program linear.

Tentukan variabel-variabel kendalanya
Tentukan fungsi tujuan
Susun model dari variabel-variabel kendala
Gambarkan grafik dari model yang telah dibuat
Tentukan titik-titik potong dari grafik
Tentukan daerah penyelesaian yang sesuai
Hitung nilai optimum dari fungsi tujuan

5. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN PROGRAM LINEAR

Contoh Soal 1 :

Tentukanlah sebuah nilai minimum dari: f(x, y) = 9x + y pada daerah yang telah dibatasi oleh 2 ≤ x ≤ 6, dan 0 ≤ y ≤ 8 serta x + y ≤ 7.

Pembahasan 1 :

Langkah 1 yaitu menggambar grafiknya terlebih dahulu :

Langkah ke-2 menentukan titik-titik ekstrimnya :

Maka berdasarkan gambar diatas, ada 4 titik ekstrim, yaitu: A, B, C, D dan himpunan penyelesaiannya ada di area yang telah diarsir.

Langkah yang ke-3, yaitu menyelidiki nilai optimum:

Berdasarkan grafik diatas dapat diketahui titik A dan B mempunyai nilai y = 0, sehingga kemungkinan menjadi nilai minimum.

Kedua titik disubstitusikan kedalam f(x, y) = 9x + y untuk dibandingkan.

Dengan membandingkan tersebut,maka bisa disimpulkan bahwa titik A memiliki nilai minimum 18.

Contoh Soal 2:

Tentukanlah dimana nilai maksimum fungsi f(x, y) = 4x + 5y yang akan dicapai pada pada grafik ini!

Pembahasan 2 :

Titik ekstrim pada gambar ialah :

A tidak mungkin maksimum karena titik A paling kiri.
B(3, 6)
C(8, 2)
D(8, 0)
Nilai tiap titik ekstrim ialah :

$B(3, 6) \longrightarrow f(3, 6) = 4(3) + 5(6) = 42$
$C(8, 2) \longrightarrow f(8, 2) = 4(8) + 5(2) = 42$
$D(8, 0) \longrightarrow f(8, 0) = 4(8) + 5(0) = 32$

Sehingga dapat diketahui hasilnya bahwa nilai maksimumnya berada pada titik yang melalui garis BC dengan nilai maksimum 42.

Contoh Soal 3 :

Lendra sedang berbelanja ke pasar. Dia membeli beberapa buah rambutan dan pepaya. Jumlah yang dibeli paling sedikit 20 buah di mana buah rambutan maksimal sebanyak 12 buah. Harga rambutan per buah adalah 5 ribu dan pepaya adalah 2 ribu. Ia memiliki uang 40 ribu. Jika Lendra membeli a rambutan dan b pepaya, tentukan bentuk model matematikanya

Pembahasan 3 :

Melakukan pemisahan untuk pembelian dan jumlah buah di mana rambutan sebagai fungsi x dan pepaya sebagai fungsi y.

Fungsi pembelian: 5000x + 2000y = 40000

Fungsi pembelian: 5x + 2y = 40

Fungsi jumlah buah: x + y ≥ 20

Fungsi maksimal rambutan: x ≤ 12

Ini bentuk model matematika untuk semua informasi dalam soal tersebut.

Contoh Soal 4 :

Ada seorang pedagang buah naga sedang memanen hasil kebunnya. Dia menyewa 30 kendaraan jenis truk dan colt dengan total muatan sebanyak 300 karung. Setiap truk hanya mampu menampung 15 karung dan colt hanya mampu mengangkut 10 karung. Tentukanlah bentuk model matematikanya.

Pembahasan 4 :

Dalam mengerjakan soal cerita seperti ini, Kita dapat melakukan pemisalan pada truk dan colt. Kita anggap truk sebagai fungsi x dan colt sebagai fungsi y. Selain itu, banyak karung yang di tampung adalah 300 karung dengan masing-masing per truk mampu menampung 15 karung dan colt 10 karung. Sehingga kita bisa menuliskan model matematikanya seperti di bawah ini.

Fungsi banyak karung = 15x + 10y = 300

Fungsi banyak karung = 3x + 2y = 60

Fungsi kuantitas = x + y = 30

Sehingga model matematika soal tersebut adalah F(kuantitas): x + y = 30 dan F(banyak karung): 3x + 2y = 60.

materi pembelajaran matematka yang disukai pada semester tahun ini