Soal Limit, Turunan, Integral 2

 Soal Limit, Turunan, Integral 2

Nama        : Fransiska Oktaviana Putri

No.Absen  : 12

Kelas         : XI IPS 3

Soal Limit, Turunan, Integral 

Nomor 12 dengan angka yang berbeda

Soal Limit, Turunan, Integral

Soal Limit, Turunan, Integral 

Nama: Fransiska Oktaviana Putri (12)

Kelas : XI IPS 3

NOMOR 12

Luas dan Volume Daerah yang Berkaitan dengan Integral Bersama Contoh Soalnya

 Luas dan Volume Daerah yang Berkaitan dengan Integral Bersama Contoh Soalnya

      Soal Pilihan Ganda beserta Pembahasannya tentang Luas + Volume Daerah dan Integral

1. Volume daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^2+1$ dan $y=x+3$ jika diputar mengelilingi sumbu-$X$ sejauh ${360}^{\circ }$ adalah $\cdots$ satuan volume.
A. $\frac{117}{5}\pi$                        D. $\frac{7}{5}\pi$
B. $\frac{107}{5}\pi$                        E. $\frac{4}{5}\pi$
C. $\frac{105}{5}\pi$

Penyelesaian

Titik potong dari kurva $y=x^2+1$ dan $y=x+3$ dapat dicari dengan menyamakan fungsinya.
$\begin{array}{cc}y& =y\\ x^2+1& =x+3\\ x^2-x-2& =0\\ (x-2)(x+1)& =0\end{array}$
Diperoleh $x=2$ atau $x=-1$.
Sketsakan grafik dari $y=x^2+1$ (parabola) dan $y=x+3$ (garis lurus) beserta arsiran daerah yang dimaksud.
Daerah yang diarsir berada pada selang $[-1,2]$ yang akan menjadi batas integrasi.
Perhatikan bahwa kurva $y=x+3$ selalu berada di atas kurva $y=x^2+1$.
Volume daerah itu bila diputar mengeliling sumbu-$X$ satu lingkaran penuh kita nyatakan sebagai $V$.
$$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_{-1}^2(y_{\text{atas}}^2-y_{\text{bawah}}^2)\text{d}x\\ & =\pi {\int }_{-1}^2\left(\right(x+3{)}^2-(x^2+1{)}^2)\text{d}x\\ & =\pi {\int }_{-1}^2\left(\right(x^2+6x+9)-(x^4+2x^2+1\left)\right)\text{d}x\\ & =\pi {\int }_{-1}^2(-x^4-x^2+6x+8)\text{d}x\\ & =\pi {[-\frac{1}{5}{x}^5-\frac{1}{3}{x}^3+3x^2+8x]}_{-1}^2\\ & =\pi [-\frac{1}{5}(2^5+(-1{)}^5)-\frac{1}{3}(2^3-(-1{)}^3)+3(2^2+(-1{)}^2)+8(2-(-1\left)\right)]\\ & =\pi [-\frac{33}{5}-3+9+24]\\ & =\pi [-\frac{33}{5}+30]\\ & =\frac{117}{5}\pi \end{array}$$Jadi, volumenya adalah $\frac{117}{5}\pi$ satuan volume.

Jawaban: A

[collapse]

2. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi kurva $y=4x-x^2$ dan $y=-2x+8$ diputar ${360}^{\circ }$ mengelilingi sumbu-$Y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $32\pi$                 C. $16\pi$               E. $4\pi$    
B. $24\pi$                D. $8\pi$      

Penyelesaian

Pertama, buat sketsa kurvanya terlebih dahulu.
Analisis: $y=4x-x^2$
Karena koefisien $x^2$ negatif, maka kurva $y=4x-x^2$ berbentuk parabola yang terbuka ke bawah.
Cek titik potong terhadap sumbu-$X.$
$$\begin{array}{cc}0& =4x-x^2\\ 0& =x(4-x)\end{array}$$Kurva memotong sumbu-$X$ di $(0,0)$ dan $(4,0).$
Absis titik puncak di $x_p=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2(-1)}=2.$ Substitusi, sehingga dihasilkan $y_p=4.$ Jadi, koordinat titik puncak parabola di $(2,4).$
Analisis: $y=-2x+8$
Kurva berupa garis lurus yang melalui titik $(0,8)$ dan $(4,0)$.
Sketsa kedua kurva sebagai berikut.
Daerah yang diarsir merupakan daerah yang dibatasi oleh kedua kurva dan akan diputar mengelilingi sumbu-$Y$ sejauh ${360}^{\circ }.$ Tampak kurva kanan = parabola dan kurva kiri = garis.
Batas integrasi adalah dari $0$ sampai $4.$, ditulis ${\int }_0^4.$
Berikutnya, akan dicari bentuk $x^2.$
Kurva $y=4x-x^2$:
$$\begin{array}{cc}y& =4x-x^2\\ y-4& =4x-x^2-4\\ 4-y& =x^2-4x+4\\ 4-y& =(x-2{)}^2\\ \sqrt{4-y}& =x-2\\ \sqrt{4-y}+2& =x\\ (4-y)+4(4-y)+4& =x^2\\ 8-y+4(4-y)& =x^2\end{array}$$Kurva $y=-2x+8$:
$$\begin{array}{cc}y& =-2x+8\\ y-8& =-2x\\ \frac{8-y}{2}& =x\\ \frac{64-16y+y^2}{4}& =x^2\end{array}$$Dengan demikian, volume benda putar daerah tersebut, yakni sebagai berikut.
$$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_0^4(y_{\text{kanan}}-y_{\text{kiri}})\text{d}y\\ & =\pi {\int }_0^4((8-y+4(4-y\left)\right)-\left(\frac{64-16y+y^2}{4}\right))\text{d}y\\ & =\frac{1}{4}\pi {\int }_0^4\left(\right(32-4y+16\sqrt{4-y})-(64-16y+y^2\left)\right)\\ & =\frac{1}{4}\pi {\int }_0^4(-32+12y-y^2+16\sqrt{4-y})\text{d}y\\ & =\frac{1}{4}\pi {[-32y+6y^2-\frac{1}{3}{y}^3+16\cdot (-\frac{2}{3})(4-y{)}^{3/2}]}_0^4\\ & =\frac{1}{4}\pi [-128+96-\frac{64}{3}+\frac{256}{3}]\\ & =\frac{1}{4}\pi (-32+64)\\ & =8\pi \end{array}$$Jadi, volume benda putar yang terjadi adalah $8\pi$

Jawaban: D

[collapse]

3. Daerah $D$ terletak di kuadran pertama yang dibatasi oleh parabola $y=x^2$, parabola $y=4x^2$, dan garis $y=4$. Volume benda putar yang terjadi bila $D$ diputar terhadap sumbu-$Y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3\pi$                  C. $6\pi$                  E. $20\pi$
B. $4\pi$                  D. $8\pi$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar ketiga kurva yang diberikan berikut.
Daerah yang diarsir merupakan daerah $D$ yang akan diputar terhadap sumbu-$Y$ sejauh ${360}^{\circ }$. Terlihat bahwa daerah itu berada dalam interval $[0,4]$.
Catatan: Jika pada soal tidak menginformasikan sudut putarannya, maka dianggap ${360}^{\circ }$ atau satu putaran.
Perhatikan bahwa,
$\begin{array}{cccc}{x}^2& =y& & \left(x\text{kanan}\right)\\ 4x^2& =y\Rightarrow x^2=\frac{1}{4}y& & \left(x\text{kiri}\right)\end{array}$
Dengan demikian, kita akan peroleh
$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_0^4(x_{\text{kanan}}^2-x_{\text{kiri}}^2)\text{d}y\\ & =\pi {\int }_0^4(y-\frac{1}{4}y)\text{d}y\\ & =\frac{3}{4}\pi {\int }_0^{4}y\text{d}y\\ & =\frac{3}{4}\pi {\left[\frac{1}{2}{y}^2\right]}_0^4\\ & =\frac{3}{8}\pi (4^2-0^2)\\ & =6\pi \end{array}$
Jadi, volume benda putar dari daerah $D$ tersebut adalah $6\pi$ satuan volume.

Jawaban: C

[collapse]

4. Suatu daerah dibatasi oleh kurva $y^2=10x$, $y^2=4x$, dan $x=4$ diputar ${360}^{\circ }$ mengelilingi sumbu-$X$. Volume benda putar yang terjadi adalah $\cdots$ satuan volume
A. $80\pi$                 C. $32\pi$                   E. $18\pi$
B. $48\pi$                 D. $24\pi$

Penyelesaian

Pertama, kita sketsakan dulu kurvanya masing-masing di sistem koordinat sebagai berikut.
Daerah yang dibatasi oleh ketiga kurva tersebut diarsir pada gambar di atas. Bila daerah itu diputar mengelilingi sumbu-$X$ sejauh ${360}^{\circ }$, maka bagiannya akan saling timpang tindih ketika memasuki sudut ${180}^{\circ }$. Karena itu, kita hanya perlu mencari volume benda putar oleh salah satu dari dua daerah yang sama luasnya itu. Misal kita pilih daerah yang atas.
Daerah dibatasi pada interval $[0,4]$. Volume benda putar terhadap sumbu-$X$ sejauh ${360}^{\circ }$ dinyatakan sebagai berikut.
$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_0^4(y_{\text{atas}}^2-y_{\text{bawah}}^2)\text{d}x\\ & =\pi {\int }_0^4(10x-4x)\text{d}x\\ & =6\pi {\int }_0^{4}x\text{d}x\\ & =6\pi {\left[\frac{1}{2}{x}^2\right]}_0^4\\ & =6\pi \left(\frac{1}{2}\right(4{)}^2)-0\\ & =6\pi \left(8\right)=48\pi \end{array}$
Jadi, volume benda putar yang dimaksud sebesar $48\pi$ satuan volume.

Jawaban: B

[collapse]

5. Volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh kurva $x=2\sqrt{3}{y}^2$, sumbu-$Y$, dan di dalam lingkaran $x^2+y^2=1$, diputar mengelilingi sumbu-$Y$ sejauh ${360}^{\circ }$ adalah $\cdots$ satuan volume.
A. $\frac{8}{60}\pi$                     D. $\frac{44}{60}\pi$
B. $\frac{17}{60}\pi$                     E. $\frac{46}{60}\pi$
C. $\frac{34}{60}\pi$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar kedua kurva tersebut berikut ini.
Daerah yang diarsir merupakan daerah yang akan diputar mengelilingi sumbu-$Y$. Kedua daerah itu memiliki luas yang sama, sehingga kita hanya perlu mencari volume benda putar daerah yang satu, lalu dikali $2$.
Misalkan kita akan mencari volume benda putar dari daerah di kuadran pertama.
Titik potong lingkaran dan parabola harus dicari dulu.
Substitusikan $x=2\sqrt{3}{y}^2$ ke persamaan $x^2+y^2=1$.
$\begin{array}{cc}(2\sqrt{3}{y}^2{)}^2+y^2& =1\\ 12y^4+y^2-1& =0\\ (3y^2+1)(4y^2-1)& =0\end{array}$
Diperoleh $3y^2+1=0$ (tidak terpenuhi untuk semua $y$) atau $4y^2-1=0$, berarti $y=\pm \frac{1}{2}$.
Jadi, integral untuk mencari volumenya terpisah pada batas integrasi $y=\frac{1}{2}$.
Perhatikan juga bahwa,
$\begin{array}{cc}x& =2\sqrt{3}{y}^2\Rightarrow x^2=12y^4\\ x^2+y^2& =1\Rightarrow x^2=1-y^2\end{array}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_0^{1/2}\left(12y^4\right)\text{d}y+\pi {\int }_{1/2}^1(1-y^2)\text{d}y\\ & =12\pi {\left[\frac{1}{5}{y}^5\right]}_0^{1/2}+\pi {[y-\frac{1}{3}{y}^3]}_{1/2}^1\\ & =\frac{12}{5}\pi \cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^5+\pi (1-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}{\left(\frac{1}{2}\right)}^3)\\ & =\frac{3}{40}\pi +\pi \left(\frac{24-8-12+1}{24}\right)+\pi \\ & =(\frac{3}{40}+\frac{5}{24})\pi =\frac{17}{60}\pi \end{array}$$Karena benda putar yang terbentuk ada dua dan ukurannya sama, maka volume benda putar secara keseluruhan adalah $2\times \frac{17}{60}\pi =\frac{34}{60}\pi$

Jawaban: C