Metode Pembuktian Matematika

 Metode Pembuktian Matematika 

Fransiska Oktaviana Putri (12)

XI IPS - 3

Senin 27 Juli 2020

Metode Pembuktian Matematika :

A. Metode Pembuktian Langsung

B. Metode Pembuktian Tidak Langsung

C. Induksi Matematika

A. Metode Pembuktian Langsung

Pembuktian langsung dalam Matematika dilakukan dengan menguraikan premis dengan dilandasi oleh difinisi, fakta, aksioma yang ada untuk sampai pada suatu kesimpulan (konklusi).

Contoh :

Buktikan bahwa n bilangan ganjil, maka n² bilangan ganjil

Bukti : 

Diketahui : bahwa n bilangan ganjil 

Karena n bilangan ganjil, maka n=2k+1, dengan k bilangan bulat

n² = (2k+1)² = 4k² + 4k + 1 = 2 (2k²+2k) + 1

Bentuk 2(2k²+2k)+1 adalah bilangan ganjil
Jadi, n² bilangan ganjil.

B. Metode Pembuktian Tidak Langsung

Pembuktian tidak langsung atau pembuktian dengan kemustahilan (reductio ad absurdum) yang dibahas ada 2 cara yaitu :

Kontraposisi

Pembuktian tidak langsung kontraposisi digunakan untuk membuktikan pernyataan implikasi

Untuk membuktikan pernyataan implikasi kita cukup membuktikan kontraposisi dari implikasi pernyataan tersebut

Secara simbolik : p → q ≡ ~q → ~p  

Untuk membuktikan kebenaran p → q, maka kita cukup membuktikan

kebenaran ~q → ~p

Contoh : 

Buktikan bahwa: “jika n2 bilangan ganjil, maka n bilangan ganjil”.

Bukti :

Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan membuktikan

            kebenaran kontraposisinya.

Misalnya : p = n2 bilangan ganjil dan q = n bilangan ganjil

Apakah p → q benar ? Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?

Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka n bilangan genap, sehingga n dinyatakan dengan sebagai n = 2k, k bilangan asli.

Akibatnya n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k).

Artinya n2  bilangan genap.

Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjil adalah BENAR,

sehingga kontraposisi ~q →~p juga BENAR.

Jadi implikasi p → q benar , ini berarti n2 bilanganganjil maka n adalah

bilangan ganjil.

Kontradiksi

Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atau teorema yang ada. Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterima dan akibatnya konklusi yang ada benar berdasarkan premis yang ada.

Contoh :

Buktikan bahwa : “Untuk semua bilangan bulat n, jika n2 ganjil, maka n ganjil”.

Bukti : 

Andaikan bahwa q salah, atau ~q benar yaitu n bukan bilangan bulat

ganjil, maka n bilangan bulat genap.

Dapat dimisalkan n = 2k dengan k bilangan bulat.

Dengan demikian maka n2 = (2k)2 atau n2 = 4k2

Ini menunjukkan bahwa  n2 = bilangan bulat genap (~p)

Terjadilah suatu kontradiksi : yang diketahui p benar, sedangdari langkah-langkah logis diturunkan ~p benar.

Oleh karena itu kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar yang berarti ~q salah atau q benar.

C. Metode Induksi Matematika

Induksi matematika adalah salah satu metode untuk membuktikan suatu pernyataan tertentu yang berlaku untuk bilangan asli.

Prinsip Induksi Matematika :

Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n.

Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1) juga benar, berakibat P(n) benar untuk semua n.

Contoh :

Buktikan bahwa : “1 + 3 + 5 +  … + (2n-1) = n2, untuk semua bilangan

                 asli n”.

Bukti : 

Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n2

P(1) benar, sebab 1 = 1

Bila P(k) benar, yaitu apabila ; 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k-1) = k2, maka

1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k-1 + 2k+1= (1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k- 1 + 2k+1.

= k2 + 2k + 1

= (k + 1)2

Sehingga P(k+1) benar.

Terimakasih🙏

   Logika Matematika

Fransiska Oktaviana Putri (13)

XI IPS 3

Senin 13 Juli 2020

Di dalam ilmu matematika, kita harus mempelajari logika. Buat apa? Agar kita bisa mengasah otak kita dalam penarikan kesimpulan-kesimpulan. Jadi, ke depannya kita tidak asal menduga sesuatu.

1. Pernyataan dan Kalimat Terbuka

Seperti pada pengertian di atas, pernyataan adalah kalimat yang bisa benar atau bisa salah. Sementara kalimat terbuka adalah jenis kalimat “yang belum diketahui kebenarannya”. Sehingga, untuk menentukan benar atau salahnya, kita perlu pengamatan lebih lanjut.

Contoh : 

" 12x + 6 = 91 (pernyataan ini dinamakan kalimat terbuka karena masih harus dibuktikan kebenarannya. Apakah benar 12x jika dijumlahkan dengan 6 akan menghasilkan 91?) ".

2. Ingkaran/negasi/penyangkalan 

Dari sebuah pernyataan, kita dapat membuat pernyataan baru berupa “ingkaran/negasi/penyangkalan” atas pernyataan tadi. Berikut adalah tabel kebenaran ingkaran:

B = pernyataan bernilai benar

S = pernyataan bernilai salah

Artinya, jika suatu pertanyaan (p) benar, maka ingkaran (q) akan bernilai salah. Begitu pula sebaliknya. Berikut adalah contoh dalam matematika:

• p: Besi memuai jika dipanaskan (pernyataan bernilai benar)
• ~p: Besi tidak memuai jika dipanaskan (pernyataan bernilai salah).

Contoh lain:

• p: Semua unggas adalah burung.
• ~p: Ada unggas yang bukan burung.

3. Pernyataan Majemuk

Dalam ilmu matematika, terdapat 4 macam pernyataan majemuk:

a. Konjungsi

Konjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “dan”. Sehingga, notasi “p^q” dibaca “p dan q”.

Tabel nilai kebenaran konjungsi:

Dari tabel di atas, kita dapat melihat bahwa konjungsi hanya akan benar jika kedua pernyataan (p dan q) benar.

Contoh:

• p: 3 adalah bilangan prima (pernyataan bernilai benar)
• q: 3 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai benar)
• p^q: 3 adalah bilangan prima dan ganjil (pernyataan bernilai benar)

b. Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “atau”. Sehingga notasi “pVq” dibaca “p atau q”.

Tabel nilai kebenaran disjungsi:

Jika kita lihat pada tabel kebenaran, disjungsi hanya salah jika kedua pernyataan (p dan q) salah.

Contoh:

• p: Paus adalah mamalia (pernyataan bernilai benar)
• q: Paus adalah herbivora (pernyataan bernilai salah)
• pVq: Paus adalah mamalia atau herbivora (pernyataan bernilai benar)

c. Implikasi 

Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika… maka…” Sehingga notasi dari “p->q” dibaca “Jika p, maka q”. Adapun tabel nilai kebenaran dari implikasi:

Dari tabel terlihat bahwa implikasi hanya bernilai salah jika anteseden (p) benar, dan konsekuen (q) salah.

Contoh:

• p: Andi belajar dengan aplikasi ruangguru. (pernyataan bernilai benar)
• q: Andi dapat belajar di mana saja. (pernyataan bernilai benar)
• p->q: Jika Andi belajar dengan aplikasi ruangguru, maka Andi dapat belajar di mana saja (pernyataan bernilai benar)

d. Biimplikasi

Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “… jika dan hanya jika”. Sehingga, notasi dari “p<-> q” akan dibaca “p jika dan hanya jika q”.

Tabel nilai kebenaran Biimplikasi:

Dari tabel kebenaran tersebut, dapat kita amati bahwa biimplikasi akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya (pernyataan p dan q) bernilai sama. Baik itu sama-sama benar, atau sama-sama salah.

Contoh:

• p: 30 x 2 = 60 (pernyataan bernilai benar)
• q: 60 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai salah)
• p<->q: 30 x 2 = 60 jika dan hanya jika 60 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai salah).

- Soal berdasarkan materi, logika matematika beserta jawaban -

1. Ingkaran dari pernyataan “semua makhluk hidup perlu makan dan minum” adalah …

a. Semua makhluk hidup tidak perlu makan dan minum

b. Ada makhluk hidup yang tidak perlu makan atau minum

c. Ada makhluk hidup yang tidak perlu makan dan minum

d. Semua makhluk hidup tidak perlu makan dan minum

e. Semua makhluk hidup perlu makan tetapi tidak perlu 

Pembahasan : Ingkaran dari “semua” adalah “ada” sedangkan ingkaran “dan” adalah “atau”. Jadi, ingkaran untuk soal di atas adalah: Ada makhluk hidup yang tidak perlu makan atau minum.

 JAWABAN: B.

2. Diketahui premis-premis:

Premis 1: Jika Mesir bergolak dan tidak aman maka beberapa warga asing dievakuasi.

Premis 2: Semua warga asing tidak dievakuasi. Kesimpulan dari kedua premis tersebut adalah…

a. Jika Mesir tidak bergolak atau aman maka beberapa warga asing dievakuasi

b. Jika semua warga asing dievakuasi maka Mesir bergolak dan tidak aman

c. Mesir bergolak tetapi aman.

d. Mesir tidak bergolak atau aman. e. Mesir tidak bergolak dan semua warga asing tidak dievakuasi.

Pembahasan : Misalkan: p = Mesir bergolak q = Mesir tidak aman r = beberapa warga asing dievakuasi Maka soal di atas menjadi: Premis 1: ( p ˄ q ) ⇒ r Premis 2: ~r Kesimpulan: ~( p ˄ q ) ~( p ˄ q ) = ~p ˅ ~q “Mesir tidak bergolak atau aman” 

JAWABAN: D.