PTS (Penilaian Tengah Semester)

Penilaian Tengah Semester

Fransiska Oktaviana Putri

12

XI IPS 3

Selasa 16 Februari 2021

Soal

 

Jawaban: 

Soal

Jawaban: 

Soal

Jawaban:

Soal

    Jawaban:

Menggambar Grafik Fungsi dengan Turunan Pertama dan Kedua

Menggambar Grafik Fungsi dengan Turunan Pertama dan Kedua

Apa Fungsi Kuadrat ?

Suatu fungsi f pada himpunan bilangan real (R) yang ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat. Ada dua cara menggambar grafik fungsi kuadrat yaitu dengan menggunakan tabel koordinat bebarapa titik dan menggunakan titik-titik penting yang dilalui grafik. Titik-titik penting tersebut adalah titik potong grafik dengan sumbu X, titik potong grafik dengan sumbu Y dan titik balik.

Berdasarkan nilai diskriminannya (D = b2 – 4ac), grafik fungsi kuadrat (y = ax2 + bx + c) ) terdiri dari 6 kemungkinan yaitu sebagai berikut.

1. Jika a > 0 dan D > 0, grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik yang berbeda. Jenis titik baliknya minimum.
2. Jika a > 0 dan D = 0, grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di satu titik atau menyinggung sumbu X. Jenis titik baliknya minimum.
3. Jika a > 0 dan D < 0, grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu X (definit positif). Jenis titik baliknya minimum.
4. Jika a < 0 dan D > 0, grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik berbeda. Jenis titik baliknya maksimum.
5. Jika a < 0 dan D = 0, grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X dan titik baliknya maksimum.
6. Jika a < 0 dan D < 0, grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu X (definit negatif) dan titik balinya maksimum

Contoh Soal

1. Perhatikan gambar fungsi kuadrat dibawah ini.

Persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah…

A. y = x2 – 2x + 15 

B. y = x2 – 2x – 15 

C. y = x2 + 2x + 15 

D. y = x2 – 8x – 15

E. y = x2 – 8x + 15

Pembahasan: 

Berdasarkan grafik fungsi kuadrat diatas kita ketahui:

x1 = -5

x2 = -3

y = 15

Fungsi kuadrat dibentuk dengan cara sebagai berikut:

y = a (x – x1) (x – x2)

y = a (x – (-5)) (x – (-3))

y = a (x + 5) (x + 3)

y = a (x2 + 3x + 5 x + 15)

y = a (x2 + 8x + 15)

Selanjutnya kita tentukan nilai a dengan subtitusi nilai x = 0 dan y = 15 sehingga didapat:

15 = a (02 + 8 . 0 + 15)

15 = a . 15

a = 15/15 = 1

Jadi fungsi kuadratnya adalah:

y = 1 (x2 + 8x + 15)

y = x2 + 8x + 15

Jawabannya:  C.

2.

Persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah…

A. y = 2x2 + 2x – 4 

B. y = 2x2 – 2x – 4 

C. y = x2 + x – 4

D. y = x2 – 2x – 4 

E. y = x2 – x – 4

Pembahasan:

Berdasarkan grafik diatas kita ketahui:

x1 = -1

x2 = 2

y = -4

Maka persamaan fungsi kuadrat sebagai berikut:

y = a (x – (-1)) (x – 2)

y = a (x + 1) (x – 2)

y = a (x2 – x – 2)

Menentukan nilai a dengan cara subtitusi x = 0 dan y = -4 sehingga didapat hasil dibawah ini:

-4 = a (02 – 0 – 2)

-4 = a . -2

a = -4/-2 = 2

Sehingga persamaan kuadratnya adalah:

y = 2 (x2 – x – 2)

y = 2x2 – 2x – 4

Jawabannya: B

3. Perhatikan gambar dibawah ini.

Jika fungsi kuadrat grafik diatas dinyatakan oleh f(x) = ax2 + bx + c maka pernyataan dibawah ini yang benar adalah…

A. a < 0, b < 0, dan c < 0 

B. a < 0, b > 0 dan c > 0 

C. a < 0, b > 0 dan c < 0 

D. a > 0, b < 0 dan c > 0 

E. a > 0, b < 0 dan c < 0

Pembahasan:

Untuk menjawab soal ini kita bentuk terlebih dahulu persamaan fungsi kuadrat grafik diatas sebagai berikut:

y = a (x – (-3)) (x – (-1))

y = a (x + 3) (x + 1)

y = a (x2 + 4x + 3)

-3 = a (02 + 4 . 0 + 3)

-3 = a . 3

a = -3/3 = -1

y = -1 (x2 + 4x + 3)

y = -x2 – 4x – 3

Berdasarkan persamaan fungsi kuadrat diatas kita ketahui a = -1, b = -4 dan c = -3 atau a < 0, b < 0 dan c < 0. 

Jawaban: A

4. Perhatikan gambar dibawah ini.

Koordinat titik potong grafik dengan sumbu X adalah…

A. (-1, 0) dan (-8, 0)

B. (-1, 0) dan (8, 0) 

C. (1, 0) dan (-8, 0) 

D. (1, 0) dan (8, 0) 

E. (2, 0) dan (5, 0)

Pembahasan:

Berdasarkan grafik fungsi kuadrat diatas kita ketahui:

titik balik xp = 9/2

titik balik yp = -49/4

y = 8

xp = -b/2 . a = 9/2

 

Sehingga kita dapat a = 2/2 = 1 dan b = -9. 

yp = -(b2 – 4 . a . c)/4 . a = -49/4

 b2 – 4 . a . c = 49 

92 – 4 . 1 . c = 49 

81 – 4c = 49 atau 4c = 81 – 49 = 32 

c = 32/4 = 8 

Jadi persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah: 

y = ax2 + bx + c 

y = xp – 9x + c 

Untuk menentukan titik potong x kita lakukan pemfaktoran sebagai berikut: 

xp – 9x + 8 = 0 

(x1 – 8) (x2 – 1) = 0 

x1 = 8 dan x2 = 1

Jadi titik potong sumbu X adalah (8,0) dan (1,0). 

Jawaban: D

5. Diketahui jumlah 2 bilangan adalah 72. Hasil kali maksimum kedua bilangan adalah…

A. 72 

B. 144 

C. 360 

D. 1.296 

E. 5.184

Pembahasan:

Untuk menjawab soal ini kita lalukan pemisalan 2 bilangan yaitu x dan y sehingga kita peroleh:

x + y = 72

y = 72 – x

x . y = x (72 – x) = 72x – x2

K = -x2 + 72x

Berdasarkan fungsi kuadrat diatas kita ketahui a = -1, b = 72 dan c = 0. Hasil kali maksimum kita gunakan rumus dibawah ini:

K = -(b2 – 4 . a . c)/4 . a

 K = -(722 – 4 . -1 . 0)/4 . -1 = 5184/4= 1296

Jawaban: D

NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

 Nilai Stasioner, Fungsi Naik dan Fungsi Turun

A. Nilai Stasioner

Jika f(x) diferensiabel di x = a dengan $f^{\prime }\left(a\right)=0$ maka f(a) adalah nilai stasioner di x = a dan titik (a, f(a)) disebut titik stasioner dari f(x).

Perhatikan grafik fungsi berikut !

Dari grafik diatas dapat dilihat bahwa f(a) adalah nilai stasioner di x = a dan f(b) adalah nilai stasioner di x = b, dimana turunan pertama di titik-titik tersebut bernilai nol. Selanjutnya titik (a, f(a)) dan (b, f(b)) disebut titik stasioner dari fungsi f.

B. Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Untuk mengetahui maksud dari fungsi naik dan fungsi turun, perhatikan gambar berikut.

Suatu fungsi dikatakan fungsi naik ataupun fungsi turun jika memenuhi kriteria berikut:

1. Fungsi naik jika f’(x) > 0
2. Fungsi turun jika f’(x) < 0

C. Contoh Soal

1. Nilai stasioner dari fungsi y = x³ - x² - 8x diperoleh pada ...

A. x = 2 dan x = - 4/3

B. x = 4/3 dan x = 2

C. x = 4/3 dan x = - 2

D. x = 2/3 dan x = - 4

E. x = 4 dan x = - 2/3

Pembahasan:

Syarat fungsi stasioner adalah F¹(x) = 0, sehingga kita turunkan fungsi y pada soal diatas:
y¹ = 3x² - 2x - 8 = 0 (faktorkan)
       (3x + 4) (x - 2) = 0
        x = - 4/3 dan x = 2

Jawaban: A. x = 2 dan x = - 4/3

2. Grafik fungsi y = 1 / (x² + 1) akan turun pada interval...
A. x < 0
B. x > 0
C. x < 2
D. x > 2
E. x < - 2

Pembahasan:
Gunakan syaran fungsi turun F¹(x) < 0, jadi kita turunkan fungsi y:
Misal:
U = 1 maka U¹ = 0
V = x² + 1 maka V¹ = 2x
Jadi y¹ = (U¹ V - U . V¹) / V²
y¹ = (0 . x² + 1 - 1 . 2x) / (x² + 1)²
y¹ = - 2x / (x² + 1)² < 0 (penyebut diabaikan saja)
- 2x < 0
x < 0

Jawaban: A. x < 0

3. Jika x₁ dan x₂  merupakan akar persamaan x² - (a -1)x + a = 0.

Nilai stasioner dari x₁³ + 3x₁.x₂ + x₂³ dicapai untuk a = .....
A. 1 dan 2
B. 1 dan 3
C. 2 dan 3
D. -1
E. 0, -1 dan 1

Pembahasan:

x² - (a -1)x + a = 0
a = 1, b = -(a - 1), c = a
x₁ + x₂ = -b/a = (a - 1)
x₁.x₂ = c/a = a
x₁³ + 3x₁.x₂ + x₂³ = x₁³+ x₂³+ 3x₁.x₂
      = (x₁ + x₂)³ - 3x₁.x₂(x₁ + x₂) + 3x₁.x₂
      = (a - 1)³ - 3a(a - 1) + 3a
      = (a - 1)³ - 3a² + 6a
Stasioner <=> turunan pertama = 0
<=> 3(a - 1)² - 6a + 6 = 0
<=> (a - 1)² - 2a + 2 = 0
<=> a² - 2a +1 - 2a + 2 = 0
<=> a² - 4a + 3 = 0
<=> (a - 1)(a - 3) = 0
<=> a = 1 atau a = 3

Jawaban: B 1 dan 3

4. Fungsi y = 4x³ - 18x² + 15x - 20 mencapai maksimum untuk nilai x = .....
A. 0,5
B. 1,5
C. 2
D. 2,5
E. 3

Pembahasan:

y = 4x³ - 18x² + 15x - 20
Stasioner <=> y' = 0
y' =  12x² - 36x + 15 = 0
<=> 3(4x² - 9x + 5) = 0
<=> 3(2x - 1)(2x - 5) = 0
<=> x = ½ atau x = 5/2

Jadi, fungsi y mencapai maksimum untuk x = ½.

Jawaban: A. 0,5

5. y = x³ -3x² -24x - 7 maka nilai stasionernya adalah .....
A. -2  dan 4
B. -35
C. 1
D. 21 dan -87
E. 1,21 dan  -77

Pembahasan:

y = x³ -3x² -24x - 7
Stasioner <=> y' = 0
y' = 3x² - 6x - 24 = 0
<=> x² - 2x - 8 = 0
<=> (x - 4)(x + 2) = 0
<=> x = 4  atau x = -2

Fungsi maksimum pada x = -2,maka nilai balik maksimumnya:
f(-2) = (-2)³ -3(-2)² -24(-2) - 7
= -8 - 12 + 48 - 7
= 21
Fungsi minimum pada x = 4, maka nilai balik minimumnya:
f(4) = (4)³ -3(4)² -24(4) - 7
= 64 - 48 - 96 - 7
= -87
Jadi, nilai stasionernya adalah 21 dan -87.

Jawaban: D. 21 dan -87

Daftar Pustaka:

1.  https://mathematics4us.com/fungsi-naik-dan-fungsi-turun-penjelasan-dan-contoh-soal/

2. https://aseprespati.blogspot.com/2016/04/pembahasan-contoh-soal-fungsi-naik.html

3.http://ilmuku-duniaku14.blogspot.com/2018/07/soal-dan-pembahasan-menentukan-titik.html

Persamaan Garis Singgung pada Kurva dan Garis Normal

 

 Persamaan Garis Singgung pada Kurva dan Garis Normal

Persamaan Garis

Persamaan garis yang melalui titik (x1,y1) dengan gradien m adalah :y−y1=m(x−x1)
Sebagai contoh, persamaan garis yang melalui titik (1,4) dengan m = 3 adalah

y − 4 = 3(x − 1)
y − 4 = 3x − 3
y = 3x + 1

Gradien Garis

Gradien  dari persamaan garis :

• y = ax + b          ⇒ m = a
• ax + by + c = 0  ⇒ m = −ab

Contoh :

1. y = −2x + 1  ⇒ m = −2
2. 6x − 2y + 3 = 0  ⇒ m = −6−2 = 3

Gradien garis yang melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2)  adalah :

m=y2−y1x2−x1

Gradien garis yang membentuk sudut α terhadap sumbu-x positif adalah :
m=tanα
Gradien Garis A dan B :

• Sejajar : mA=mB
• Tegak lurus : mA⋅mB=−1

A. Persamaan Garis Singgung Kurva

Misalkan garis g menyinggung kurva y = f(x) di titik (x1,y1). Persamaan garis singgung kurva di titik tersebut adalah y−y1=m(x−x1)

dengan m=f′(x1)

Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Kurva:

Contoh 1

Jika garis singgung pada kurva y = √x  di titik P membentuk sudut 45° dengan sumbu-x positif, tentukan koordinat titik P dan persamaan garis singgung di titik P tersebut !

Jawab

m = tan 45° = 1

⇒ m = 1

f(x) = √x  ⇒  f '(x) = $\frac{1}{2\sqrt{x}}$

m = f '(x)

1 = $\frac{1}{2\sqrt{x}}$

2√x = 1

√x = $\frac{1}{2}$

x = $\frac{1}{4}$

y = √x
y = $\sqrt{\frac{1}{4}}$
y = $\frac{1}{2}$

Titik singgung : P$\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$

PGS di titik P$\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$ dengan $m=1$ adalah

y − $\frac{1}{2}$ = 1$\left(x-\frac{1}{4}\right)$
$y=x+\frac{1}{4}$   atau  4x − 4y + 1 = 0

Contoh 2 

Garis k menyinggung kurva $y=x^2-4x-3+2a$ di titik P yang berabsis 4. Jika garis l tegak lurus terhadap garis k di titik P dan melalui titik Q $(8,2)$, tentukan nilai a !

Jawab :

Absis (x) = 4
y = x² − 4x − 3 + 2a
y = (4)² − 4(4) − 3 + 2a
y = 2a − 3

Titik singgung P(4, 2a − 3)

Cari gradien garis singgung k :

f(x) =  x² − 4x − 3 + 2a 

f '(x) = 2x − 4

m_k = f '(4) = 2(4) − 4
⇒ m_k = 4

Garis l tegak lurus garis k maka :

m_l . m_k = −1

m_l . 4 = −1

m_l = $-\frac{1}{4}$

Ingat :

Gradien garis yang melalui titik $\left(x_1,y_1\right)$ dan $\left(x_2,y_2\right)$  adalah :
$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Garis l melalui titik P(4, 2a − 3) dan Q (8, 2), maka :

⇔  m_l = $\frac{2-(2a-3)}{8-4}$

⇔  $-\frac{1}{4}$ = $\frac{5-2a}{4}$

⇔  −1 = 5 − 2a

⇔  2a = 6

⇔  a = 3

B. Persamaan Garis Normal Kurva

Persamaan garis normal bergradien dan melalui A(x1,y1)

Contoh Soal Persamaan Garis Normal Kurva:

Contoh 1

Tentukan Persamaan garis normal pada kurva y = x4 - 7x2 + 20 di titik yang berabsis 2 adalah...

Jawab: 

Persamaan garis normal

gradien garis singgung , m = 4, gradien garis normal 

Garis normal bergardien  melalui A(2,8)

Jadi, persamaan garis Normalnya adalah

Daftar Pustaka: 

1. https://smatika.blogspot.com/2016/04/persamaan-garis-singgung-kurva_6.html

2. https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-persamaan-garis-singgung-menggunakan-turunan/

3. https://sumberbelajar.belajar.kemdikbud.go.id/sumberbelajar/tampil/Garis-Singgung-dan-Garis-Normal-2016/menu4.html