SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI

SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI

Fransiska Oktaviana Putri (13)

X IPS - 3

3.7 Menyelesaikan cara merubah satuan pengukuran sudut trigonometri radian ke derajat, derajat ke radian

o   Radian ke Derajat

40 radian = ….. ^o (derajat) ?

Pembahasan :

6,28 radian = 360^o

40 radian/6,28 = (6,37)(360⁰) = 2292,99^o

o   Derajat ke Radian

90^o = ….. radian ?

Pembahasan :

360^o = 2 pi radian = 2(3,14) radian = 6,28 radian

180^o = pi radian = 3,14 radian

90^o = ½ pi radian = ½ (3,14) = 1,57

o   Derajat ke Radian

50^o  = ….. radian?

Pembahasan:

50° = 50° x π/180°

50° = 0,277π

50° = 0,277 (3,14)

50° = 0,87

3.7 Menyelesaikan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku dan sudut istimewa (60^o , 30^o , 45^o )

o   Sudut istimewa 2.4  a

 Dari gambar 2.4 a dapat ditentukan

Sin 45^o =  = 1/2                              Csc 45^o =

Cos 45^o =  = 1/2                            Sec 45^o =

Tan 45⁰ = 1/1 = 1                           Cot 45^o = 1/1 = 1

o   Sudut istimewa 2.4 b

3.7 Menyelesaikan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku di dalam koordinat kartesius

o   Sebuah perahu berlayar dari pelabuhan dengan arah 45°. Kecepatan rata-rata perahu 12km/jam. Setelah 5 jam,jarak perahu dari timur pelabuhan adalah... M

 Pembahasan :

Jarak = 12 . 5 = 60 km

Sudut dari timur ke pelabuhan = 90 - 60 = 30 derajat

Sin 30 = y/60

1/2 = y/60

1/2 . 60 = y

30 km = y

o   Sebuah kapal sedang berlabuh di dermaga dengan posisi menghadap ke menara. Seorang pengamat yang berada di puncak menara melihat ujung depan kapal dengan sudut depresi 60° dan ujung belakang kapal dengan sudut depresi 30°. Jika tinggi pengamat 1,5 m, tinggi menara 40 m, dan dasar menara berada 20 m di atas permukaan laut, tentukan panjang kapal tersebut!

Pembahaan :

Panjang kapal tersebut adalah : 106,5 – 35,5 =  71 M

3.7 Menyelesaikan nilai trigonometri pada suatu sudut segitiga siku-siku pada koordinat cartesius

o   Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya

v sin 20°

                                                          pembahasan :

sin 20° = sin (90° − 70°)

= cos 70°

v tan 40°

pembahasan :

tan 40° = tan (90° − 50°)

= cot 50°

o   Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° !

v tan 143°

pembahasan :

Sudut 143° adapada kuadran II, sampai tan 143° mempunyai nilai negatif.

tan 143° = tan (180° − 37°)

= -tan 37°

v sin 233°

pembahasan :

Sudut 233° ada pada kuadran III, sehingga sinus mempunyai nilai negatif.

sin 233° = sin (270° − 37°)

= -cos 37°

3.7 Menyelesaikan komposisi operasi (+, -, :, dan •) nilai trigonometri

o   nilai dari sin 30° . cos 60° + sin 60° . cos 30°

Pembahasan :

sin 30° . cos 60° + sin 60° . cos 30°

1/2   . 1/2 + 1/2  . 1/2

1/4  + 1/4 .

1/4 + 1/4 . 3

1/4 + 3/4

4/4

= 1

3.8 Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran

o   Jika sin a = 1/2 , a di kuadran II , maka nilai dari tan a

Pembahasan :

Jadi tan A adalah : -1/3

3.8 Menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana atau persamaan indentitas trigonometri = rumus identitas trigonometri

Buktikan bahwa persamaan identitas trigonometri di bawah adalah benar!

  

Bukti:

  

  

  

  

  

3.8 Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut-sudut berelasi (kuadrat: I, II, III, IV), sudut negatif, dan sudut > 360^o

o   Jika sin 30° =½ maka cos 300°=

Pembahasan :

cos 300°

cos (360° - 60°)

cos 60°

cos (90° - 30°)

sin 30°

= 1/2

3.8 Menyelesaikan Koordinat kutub ke koordinat kartesius, koordinat kartesius ke koordinat kutub

o   untuk koordinat kutub ke koordinat kartesius. Jika diketahui koordinat kutub (6√3, 60°), maka koordinat kartesiusnya adalah

pembahasan :

koordinat kutub ⇒ koordinat kartesius

              (r , α) ⇒ ( x , y )

r = 6√3 ;         α = 60° 

x = r cos α

⇒ 6√3 x cos 60°

⇒ 6√3 x 1/2

⇒ 3√3

y = r sin α

⇒ 6√3 x sin 60°

⇒ 6√3 x 1/2 √3

⇒ 3 x 3

⇒ 9

sehingga koordinat kartesiusnya ialah ( 3√3 , 9)

3.8 Menyelesaikan soal cerita perbandingan trigonometri

o   Bagus berdiri dengan jarak 80 m dari sebuah menara memandang puncak menara dengan sudut elevasi 30^o. Jika jarak mata Bagus dengan tanah adalah 150 cm, tinggi menara tersebut adalah

Pembahasan :

 Jadi, tinggi menara adalah ;

80. tan30^o + 1,5

80 . 1/3  + 1,5

= (80/3 ) m

3.9 Menyelesaikan aturan sinus diketahui 2 sudut dan 1 sisi

Pada segitiga ABC diketahui AC=10 cm, besar sudut B=45 derajat, dan besar sudut A=30 derajat. tentukan panjang BC.

Diketahui :

Panjang AC = b = 10 cm

Sudut B = 45°

Sudut A = 30°

Ditanyakan :

Panjang BC = a = ...... 

Pembahasan :

Dengan aturan sinus

a/(sin A) = b/(sin B)

a/(sin 30°) = 10/(sin 45°)

a/(1/2) = 10/(1/2 √2)

a/1 = 10/(√2)

a = 10/(√2) . (√2)/(√2)

a = (10 √2)/2

a = 5 √2

3.9 Menyelesaikan aturan sinus diketahui 1 sudut dan 2 sisi

o   Diketahui suatu taman di tengah kota berbentuk segitiga sembarang. Jika sudut apit sebesar 60^o dan dua sisi yang mengapitnya masing-masing panjangnya 18 meter dan 16 meter, maka luas taman tersebut adalah 

Pembahasan :

L = 1/2 . 18. 16. Sin 60^o

L = 1/2 . 18 . 16 . 1/2

Maka L = 72 m²

3.9 Menyelesaikan aturan cos ditanya sisi

o   Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a yaitu 10 cm dan panjang sisi c yaitu 12 cm. Jika besar sudut yang diapit oleh a dan c yaitu 46^o, maka tentukan panjang sisi b

Pembahasan :

b2 = a² + c² − 2ac cos B

b2 = 10² + 12² − 2(10)(12) cos 46^o

b2 = 100 + 144 − 240 (0.6946)

b2 = 244 − 166,7

b2 = 77,3

b = 8,8 cm

3.9 Menyelesaikan aturan cos ditanya sudut

o Dari sebuah segitiga ABC diketahui panjang AB = 6 cm, BC = 5 cm dan AC = 4 cm. Nilai tangen sudut B adalah

Pembahasan :

Jadi, nilai tangen sudut AB = 3/4

3.9 Menyelesaikan Luas segitiga jika diketahui: 1 sudut 2 sisi, 3 sisi, 2 sudut 1 sisi

 1. Diketahui segitiga abc dengan ab= 6 cm,ac= 8 cm sudut a= 150 derajat. Luas segitiga abc

Pembahasan :

L = ½.ab.ac.Sin a

L = ½.6.8.Sin 150°

L = 12 cm²

 

2. Dalam sebuah segitiga ABC diketahui besar sudut B dan C berturut-turut yaitu 30o dan 37o. Jika panjang sisi di antara dua sudut tersebut yaitu 8 cm, maka tentukanlah luas segitiga tersebut.

Pembahasan :

Dik : B = 30^o, C = 37^o, a = 8 cm

Dit : L = .... ?

    Langkah pertama kita tentukan besar sudut A :

⇒ A + B + C = 180^o

⇒ A = 180^o - (B + C)

⇒ A = 180^o - (30^o + 37^o)

⇒ A = 180^o – 67^o

⇒ A = 113^o

    Berdasarkan rumus di atas :

 

⇒ L =	a2 sin B sin C
	2 sin A

⇒ L =	82 sin 30o sin 37o
	2 sin 113o

⇒ L =	64 (0,5) (0,6)
	2 (0,92)

⇒ L =	19,2
	1,84

⇒ L = 10,42 cm                      

3.9 Menyelesaikan Luas segitiga jika diketahui: 1 sudut 2 sisi, 3 sisi, 2 sudut 1 sisi

Diketahui segitiga abc dengan ab= 6 cm,ac= 8 cm sudut a= 150 derajat. Luas segitiga abc

pembahasan : 

L = ½.ab.ac.Sin a

L = ½.6.8.Sin 150°

L = 12 cm²

3.10 Menyelesaikan gambar fungsi trigonometri f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = csc x, f(x) = sec x, f(x) = cot x

Grafik di atas merupakan modifikasi grafik cosinus (karena tidak dimulai dari garis normal di sumbu-

$X$) dengan bentuk umum $f\left(x\right)=a\cos kx$.
Grafik juga menunjukkan bahwa nilai maksimum fungsinya $\frac{1}{2}$, sedangkan nilai minimumnya $-\frac{1}{2}$, sehingga
$\begin{array}{cc}a& =\frac{\text{N. Maksimum}-\text{N. Minimum}}{2}\\ & =\frac{\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})}{2}=\frac{1}{2}\end{array}$
Saat $x=0^{\circ }$, nilai fungsinya $\frac{1}{2}$, lalu berulang kembali di $x=\pi$, sehingga periodenya $\pi$. Dengan demikian, $k=\frac{2\pi }{\text{Periode}}=\frac{2\pi }{\pi }=2$.

Grafik fungsi di atas adalah grafik fungsi $f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cos 2x$

3.10 Menyelesaikan Range nilai fungsi trigonometri f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = csc x, f(x) = sec x, f(x) = cot x

Pada interval 0° < x < 90° grafik fungsi seluruhnya berada di atas sumbu x. fungsi tersebut adalah

pembahasan :

y = sin 2* 0 = sin  0 = 0

y = sin 2 * 45 = sin 90 = 1

y = sin 2 * 90 = sin 180 = 0

Fungsi y = sin 2x

3.7 Menyelesaikan sudut elevasi, sudut depresi

Seorang anak dengan tinggi 160 cm berdiri pada jarak 12 m dari kaki tiang bendera. Jika sudut depresi dari puncak tiang terhadap anak adalah 45° maka tinggi tiang bendera itu adalah …

pembahasan :

tan 45⁰ = 

1 = 

maka, x = 12  

3.10 Menyelesaikan fungsi trigonometri dengan menggunakan lingkaran satuan untuk menentukan periode maksimum dan minimum

Nilai minimum dari fungsi y = √3 cos x - sin x adalah...

pembahasan : 

Nilai Maksimum minimum fungsi trigonometri

y = √3 cos x - sin x  ubah  bentu ke y = k  cos ( x -  a)
a= √3
b = - 1
k = √(a²+b²)
k = √(3 +1)= +_2

Jadi, nilai minimum nya adalah = -2