materi pembelajaran matematka yang disukai pada semester tahun ini: Soal Trigonometri

SOAL TRIGONOMETRI

Remedial PAT Matematika

Fransiska Oktaviana Putri

X IPS - 3

Selasa 16 Juni 2020

Perbandingan Trigonometri

Contoh 1 : Tentukanlah nilai dari $\sin 120^{\circ}+\cos 201^{\circ}+\cos 315^{\circ}$ !

Pembahasan :

$\sin 120^{\circ}$ berada pada kuadran 2, sehingga nilainya tetap positif dengan besar sama seperti

$\sin 120^{\circ} = \sin (180-60)^{\circ} = \sin 60^{\circ} = \frac{1}{2} \sqrt{3}$

$\cos 120^{\circ}$ berada pada kuadran 3, sehingga nilainya negatif dengan besar sama seperti

$\cos 120^{\circ} = \cos (180+30)^{\circ} = - \cos 30^{\circ} = - \frac{1}{2} \sqrt{3}$

$\cos 315^{\circ}$ berada pada kuadran 4, sehingga nilainya positif dengan besar sama seperti

$\cos 315^{\circ} = \cos (360-45)^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{2} \sqrt{2}$

Contoh 2: Diketahui segitiga ABC dengan A(3, 1), B(5, 2), dan C(1, 5). Besar sudut BAC adalah

Pembahasan :

Mencari panjang AC:

$\overrightarrow{AC} = (1-3, 5-1)=(-2,4)$

$|RQ|= \sqrt{(-2)^{2} + 4^{2}} =\sqrt{ 4 + 4 }= \sqrt{8}$

Mencari panjang AB:

$\overrightarrow{AB} = (5 - 3, 2 - 1) = (2, 1)$

$|RQ|= \sqrt{2^{2} + 1^{2}} =\sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

Mencari besar sudut A:

$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = |AC| \cdot |AB| \cdot Cos \; A$

$(-2,4) \cdot (2, 1) = \sqrt{8} \cdot \sqrt{5} \cdot Cos \; A$

$-4 + 4 = \sqrt{40} \cdot Cos \; A$

$0 = \sqrt{40} \cdot Cos \; A$

$Cos \; A = \frac{\sqrt{40}}{0}$

$Cos \; A = 0 \rightarrow A = 90^{o}$

Jadi, besar sudut A adalah = 90o

Contoh 3 : Jika cos(γ) =

\frac{\sqrt{2}}{2}

dan sudut γ lancip, tentukan nilai dari

c s c^{2} (γ) - c o t^{2} (γ)

Pembahasan :

cos(γ) =

\frac{s a m p i n g}{m i r i n g}

\frac{\sqrt{2}}{2}

samping =

\sqrt{2}

miring = 2
depan =

\sqrt{2^{2} - (\sqrt{2})^{2}}

\sqrt{2}

Sesuai definisi
csc(γ) =

\frac{2}{\sqrt{2}}

cot(γ) =

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

= 1

csc²(γ) − cot²(γ) = (

\frac{2}{\sqrt{2}}

)² − (1)²
csc²(γ) − cot²(α) = 2 − 1
csc²(γ) − cot²(α) = 1

Jadi, csc²(γ) − cot²(γ) = 1

Contoh 4 : Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, -3, 2), dan R (-1, 0, 2). Besar sudut PQR adalah ....

Pembahasan :

Mencari panjang RQ:
   $\overrightarrow{RQ} = (2-(-1), -3-0, 2-2)=(3,-3,0)$
   $|RQ|= \sqrt{3^{2}+(-3)^{2}+0^{2}} =\sqrt{9+9+0}= \sqrt{18}$
Mencari panjang RP:
   $\overrightarrow{RP} = (0-(-1), 1-0, 4-2)=(1,1,2)$
   $|RQ|= \sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}} =\sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$
Mencari besar sudut R:
   $\overrightarrow{RQ} \cdot \overrightarrow{RP} = |RP| \cdot |RQ| \cdot Cos \; R$
   $(3,-3,0)(1,1,2) = \sqrt{18} \cdot \sqrt{6} \cdot Cos \; R$
   $3 - 3 + 0 = \sqrt{108} \cdot Cos \; R$
   $0 = \sqrt{108} \cdot Cos \; R$
   $Cos \; R = \frac{\sqrt{108}}{0}$
   $Cos \; R = 0 \rightarrow R = 90^{o}$
Jadi, besar sudut R adalah 90o

Contoh 5 :
$△ A B C$ siku-siku di $B$ . Jika $\cos A = \frac{3}{4}$ , nilai cot A adalah ....
Pembahasan :

Cosinus sudut adalah perbandingan panjang sisi samping sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu,
$\cos A = \frac{3}{4} = \frac{A B}{A C}$
Misalkan $A B = 3$ dan $A C = 4$ , maka dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} B C & = \sqrt{A C^{2} - A B^{2}} \\ = \sqrt{(4)^{2} - (3)^{2}} = \sqrt{7} \end{aligned}$

Cotangen sudut adalah perbandingan panjang sisi samping sudut terhadap sisi depan sudutpada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu,
$\cot A = \frac{A B}{B C} = \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3}{7} \sqrt{7}$
Jadi, nilai $\cot A = \frac{3}{7} \sqrt{7}$

Sudut Berelasi

Contoh 1 : Jika (x + 20°) adalah sudut lancip, tentukan nilai dari

$\frac{t a n (x + 110^{\circ})}{2 c o t (x + 20^{\circ})}$

Pembahasan :

tan (x + 110°) = tan (90° + (x + 20°))
Karena (x + 20°) lancip, maka (90° + (x + 20°)) adalah sudut kuadran II, sehingga tangen bernilai negatif.
tan (90° + (x + 20°)) = -cot (x + 20°)