NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

 Nilai Stasioner, Fungsi Naik dan Fungsi Turun

A. Nilai Stasioner

Jika f(x) diferensiabel di x = a dengan $f^{\prime }\left(a\right)=0$ maka f(a) adalah nilai stasioner di x = a dan titik (a, f(a)) disebut titik stasioner dari f(x).

Perhatikan grafik fungsi berikut !

Dari grafik diatas dapat dilihat bahwa f(a) adalah nilai stasioner di x = a dan f(b) adalah nilai stasioner di x = b, dimana turunan pertama di titik-titik tersebut bernilai nol. Selanjutnya titik (a, f(a)) dan (b, f(b)) disebut titik stasioner dari fungsi f.

B. Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Untuk mengetahui maksud dari fungsi naik dan fungsi turun, perhatikan gambar berikut.

Suatu fungsi dikatakan fungsi naik ataupun fungsi turun jika memenuhi kriteria berikut:

1. Fungsi naik jika f’(x) > 0
2. Fungsi turun jika f’(x) < 0

C. Contoh Soal

1. Nilai stasioner dari fungsi y = x³ - x² - 8x diperoleh pada ...

A. x = 2 dan x = - 4/3

B. x = 4/3 dan x = 2

C. x = 4/3 dan x = - 2

D. x = 2/3 dan x = - 4

E. x = 4 dan x = - 2/3

Pembahasan:

Syarat fungsi stasioner adalah F¹(x) = 0, sehingga kita turunkan fungsi y pada soal diatas:
y¹ = 3x² - 2x - 8 = 0 (faktorkan)
       (3x + 4) (x - 2) = 0
        x = - 4/3 dan x = 2

Jawaban: A. x = 2 dan x = - 4/3

2. Grafik fungsi y = 1 / (x² + 1) akan turun pada interval...
A. x < 0
B. x > 0
C. x < 2
D. x > 2
E. x < - 2

Pembahasan:
Gunakan syaran fungsi turun F¹(x) < 0, jadi kita turunkan fungsi y:
Misal:
U = 1 maka U¹ = 0
V = x² + 1 maka V¹ = 2x
Jadi y¹ = (U¹ V - U . V¹) / V²
y¹ = (0 . x² + 1 - 1 . 2x) / (x² + 1)²
y¹ = - 2x / (x² + 1)² < 0 (penyebut diabaikan saja)
- 2x < 0
x < 0

Jawaban: A. x < 0

3. Jika x₁ dan x₂  merupakan akar persamaan x² - (a -1)x + a = 0.

Nilai stasioner dari x₁³ + 3x₁.x₂ + x₂³ dicapai untuk a = .....
A. 1 dan 2
B. 1 dan 3
C. 2 dan 3
D. -1
E. 0, -1 dan 1

Pembahasan:

x² - (a -1)x + a = 0
a = 1, b = -(a - 1), c = a
x₁ + x₂ = -b/a = (a - 1)
x₁.x₂ = c/a = a
x₁³ + 3x₁.x₂ + x₂³ = x₁³+ x₂³+ 3x₁.x₂
      = (x₁ + x₂)³ - 3x₁.x₂(x₁ + x₂) + 3x₁.x₂
      = (a - 1)³ - 3a(a - 1) + 3a
      = (a - 1)³ - 3a² + 6a
Stasioner <=> turunan pertama = 0
<=> 3(a - 1)² - 6a + 6 = 0
<=> (a - 1)² - 2a + 2 = 0
<=> a² - 2a +1 - 2a + 2 = 0
<=> a² - 4a + 3 = 0
<=> (a - 1)(a - 3) = 0
<=> a = 1 atau a = 3

Jawaban: B 1 dan 3

4. Fungsi y = 4x³ - 18x² + 15x - 20 mencapai maksimum untuk nilai x = .....
A. 0,5
B. 1,5
C. 2
D. 2,5
E. 3

Pembahasan:

y = 4x³ - 18x² + 15x - 20
Stasioner <=> y' = 0
y' =  12x² - 36x + 15 = 0
<=> 3(4x² - 9x + 5) = 0
<=> 3(2x - 1)(2x - 5) = 0
<=> x = ½ atau x = 5/2

Jadi, fungsi y mencapai maksimum untuk x = ½.

Jawaban: A. 0,5

5. y = x³ -3x² -24x - 7 maka nilai stasionernya adalah .....
A. -2  dan 4
B. -35
C. 1
D. 21 dan -87
E. 1,21 dan  -77

Pembahasan:

y = x³ -3x² -24x - 7
Stasioner <=> y' = 0
y' = 3x² - 6x - 24 = 0
<=> x² - 2x - 8 = 0
<=> (x - 4)(x + 2) = 0
<=> x = 4  atau x = -2

Fungsi maksimum pada x = -2,maka nilai balik maksimumnya:
f(-2) = (-2)³ -3(-2)² -24(-2) - 7
= -8 - 12 + 48 - 7
= 21
Fungsi minimum pada x = 4, maka nilai balik minimumnya:
f(4) = (4)³ -3(4)² -24(4) - 7
= 64 - 48 - 96 - 7
= -87
Jadi, nilai stasionernya adalah 21 dan -87.

Jawaban: D. 21 dan -87

Daftar Pustaka:

1.  https://mathematics4us.com/fungsi-naik-dan-fungsi-turun-penjelasan-dan-contoh-soal/

2. https://aseprespati.blogspot.com/2016/04/pembahasan-contoh-soal-fungsi-naik.html

3.http://ilmuku-duniaku14.blogspot.com/2018/07/soal-dan-pembahasan-menentukan-titik.html