PENERAPAN TURUNAN: KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA

 

PENERAPAN TURUNAN: KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA

Contoh Soal Pilihan Ganda dan Pembahasannya yang Berkaitan dengan Penerapan Turunan

Nomor 1
Suatu perusahaan memproduksi $x$ unit barang dengan biaya $(4x^2-8x+24)$ ribu rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 untuk tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. Rp16.000,00                    D. Rp52.000,00
B. Rp32.000,00                    E. Rp64.000,00
C. Rp48.000,00

Pembahasan

Misalkan $f\left(x\right)$ menyatakan total biaya produksi $x$ unit barang, $g\left(x\right)$ menyatakan harga jual $x$ unit barang dalam satuan ribu rupiah, dan $h\left(x\right)$ menyatakan keuntungan yang diperoleh atas penjualan $x$ unit barang, maka
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x(4x^2-8x+24)\\ & =4x^3-8x^2+24x\\ g\left(x\right)& =40x\\ h\left(x\right)& =g\left(x\right)-f\left(x\right)\\ & =40x-(4x^3-8x^2+24x)\\ & =-4x^3+8x^2+16x\end{array}$
Agar maksimum, nilai turunan pertama $h^{\prime }\left(x\right)$ harus bernilai $0$. 
$\begin{array}{cc}h\left(x\right)& =-4x^3+8x^2+16x\\ h^{\prime }\left(x\right)& =-12x^2+16x+16\\ 0& =-12x^2+16x+16\\ \text{Bagi}& \text{kedua ruas dengan -4}\\ 0& =3x^2-4x-4\\ 0& =(3x+2)(x-2)\end{array}$
Diperoleh $x=-\frac{2}{3}$ atau $x=2$. Karena $x$ menyatakan jumlah barang dan nilainya tidak mungkin negatif/pecahan, maka $x$ yang diambil adalah $x=2$. 
Substitusikan $x=2$ ke $h\left(x\right)$. 
$\begin{array}{cc}h\left(2\right)& =-4(2{)}^3+8(2{)}^2+16\left(2\right)\\ & =-4\left(8\right)+8\left(4\right)+32=32\end{array}$
Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah Rp32.000,00.
(Jawaban B)

[collNomor 2

Nomor 2

Suatu pembangunan proyek gedung sekolah dapat diselesaikan dalam $x$ hari dengan biaya proyek per hari $(2x-600+\frac{30}{x})$ ribu rupiah. Agar biaya proyek minimum, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu $\cdots$ hari. 
A. $80$                      C. $150$                       E. $320$
B. $100$                    D $240$   

Pembahasan

Misalkan $f\left(x\right)$ menyatakan biaya proyek selama $x$ hari dalam satuan ribu rupiah, sehingga
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x(2x-600+\frac{30}{x})\\ & =2x^2-600x+30\end{array}$
Agar biaya proyek minimum, nilai $x$ yang bersesuaian dapat ditentukan saat $f^{\prime }\left(x\right)=0$, yakni
$\begin{array}{cc}4x-600& =0\\ 4x& =600\\ x& =150\end{array}$
Jadi, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu $150\text{hari}$ agar biaya proyeknya minimum.
(Jawaban C)

[collapse]

Nomor 3
Proyek pembangunan suatu gedung dapat diselesaikan dalam $x$ hari dengan menghabiskan biaya proyek per hari sebesar $(3x-180+\frac{5.000}{x})$ ratus ribu rupiah. Biaya minimum proyek pembangunan gedung tersebut adalah $\cdots$ juta rupiah. 
A. $220$                      C. $230$                  E. $280$   
B. $225$                      D. $260$       

Pembahasan

Misalkan $f\left(x\right)$ menyatakan biaya proyek selama $x$ hari dalam satuan ratus ribu rupiah, sehingga
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x(3x–180+\frac{5.000}{x})\\ & =3x^2-180x+5.000\end{array}$
Agar biaya proyek minimum, nilai $x$ yang bersesuaian dapat ditentukan saat $f^{\prime }\left(x\right)=0$, yakni
$\begin{array}{cc}6x-180& =0\\ 6x& =180\\ x& =30\end{array}$
Proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu 30 hari agar biaya proyeknya minimum. Biaya yang dimaksud sebesar 
$\begin{array}{cc}f\left(30\right)& =3(30{)}^2-180(30)+5.000\\ & =2.700-5.400+5.000=2.300\end{array}$
Jadi, biaya minimum proyek pembangunan gedung tersebut adalah $\text{230 juta rupiah}$
(Jawaban C)

[collapse]

Nomor 4
Biaya untuk memproduksi $x$ bungkus keripik tempe adalah $(\frac{1}{4}{x}^2+25x+25)$ ribu rupiah. Jika setiap bungkus keripik dijual dengan harga $(55-\frac{1}{2}x)$ ribu rupiah, maka keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah $\cdots \cdot$
A. Rp225.000,00
B. Rp275.000,00
C. Rp375.000,00
D. Rp400.000,00
E. Rp425.000,00

Pembahasan

Fungsi pengeluaran dari kasus di atas adalah $f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^2+25x+25$, sedangkan fungsi penjualan sebanyak $x$ bungkus keripik tempe adalah $g\left(x\right)=x\cdot (55-\frac{1}{2}x)=55x-\frac{1}{2}{x}^2$. Karena keuntungan didapat dari hasil penjualan dikurangi pengeluaran (modal), maka kita peroleh fungsi keuntungan$$\begin{array}{cc}h\left(x\right)& =g\left(x\right)-f\left(x\right)\\ & =(55x-\frac{1}{2}{x}^2)-(\frac{1}{4}{x}^2+25x+25)\\ & =-\frac{3}{4}{x}^2+30x-25\end{array}$$Nilai fungsi $h$ akan maksimum ketika $h^{\prime }\left(x\right)=0$.
$$\begin{array}{cc}-\frac{3}{4}\left(2\right)x+30& =0\\ -\frac{3}{2}x& =-30\\ x& =30\times \frac{2}{3}\\ x& =20\end{array}$$Substitusi $x=20$ pada $h\left(x\right)$.
$$\begin{array}{cc}h\left(20\right)& =-\frac{3}{4}(20{)}^2+30(20)-25\\ & =-300+600-25=275\end{array}$$Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh adalah Rp275.000,00.
(Jawaban B)

[collapse]

Nomor 5
Sebuah peluru ditembakkan ke atas. Jika tinggi $h$ meter setelah $t$ detik dirumuskan dengan $h\left(t\right)=120t-5t^2$, maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah $\cdots$ meter. 
A. $270$                     C. $670$                  E. $770$
B. $320$                      D. $720$   

Pembahasan

Diketahui: $h\left(t\right)=120t-5t^2$. 
Turunan pertama fungsi $h$ adalah
$h^{\prime }\left(t\right)=120-10t$
Nilai $t$ akan maksimum saat $h^{\prime }\left(t\right)=0$, sehingga ditulis
$120–10t=0\iff 10t=120\iff t=12$
Ketinggian maksimum yang dapat dicapai peluru adalah saat $t=12$, yaitu
$\begin{array}{cc}h\left(12\right)& =120\left(12\right)-5(12{)}^2\\ & =1440-720=720\end{array}$ 
Jadi, ketinggian maksimum peluru adalah $720\text{meter}$
(Jawaban D)

Nomor 6

Sebuah balok tanpa tutup tampak seperti gambar.

Jika kotak itu mempunyai volume ${\text{108 cm}}^3$, maka agar luas permukaan kotak minimum, nilai $x$ adalah $\cdots \text{cm}$.
A. $3$                       C. $6$                   E. $12$
B. $4$                       D. $8$         

Pembahasan

Nyatakan $t$ dalam $x$ dengan menggunakan volume kotak berbentuk balok tersebut. 
$\begin{array}{cc}V& =108\\ x\cdot x\cdot t& =108\\ x^2\cdot t& =108\\ t& =\frac{108}{x^2}\end{array}$
Nyatakan luas permukaan ($L$) balok sebagai fungsi terhadap variabel $x$. 
$\begin{array}{cc}L\left(x\right)& =4(x\cdot t)+(x\cdot x)\\ & =4xt+x^2\\ & =4x\left(\frac{108}{x^2}\right)+x^2\\ & =432x^{-1}+x^2\end{array}$
Luas permukaan akan minimum saat $L^{\prime }\left(x\right)=0$, sehingga ditulis
$\begin{array}{cc}{L}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ -432x^{-2}+2x& =0\\ 2x& =432x^{-2}\\ x^3& =216\\ x& =\sqrt[3]{3216}=6\end{array}$
Jadi, nilai $x$ agar luas permukaan kotak minimum adalah $6\text{cm}$
(Jawaban C)

[collapse]

Nomor 7
Sebuah tabung tanpa tutup akan dibuat dari selembar aluminium seluas $300{\text{cm}}^2$. Agar volume tabung maksimum, luas alas tabung adalah $\cdots {\text{cm}}^2$.
A. $100$                              D. $10\sqrt{\pi }$
B. $120$                              E. $20\sqrt{\pi }$
C. $100\pi$

Pembahasan

Nyatakan $t$ (tinggi tabung) dalam $r$ (jari-jari tabung) dengan menggunakan luas permukaan tabung ($L$) tersebut. 
$\begin{array}{cc}L& =300\\ \pi r^2+2\pi rt& =300\\ 2\pi rt& =300-\pi r^2\\ t& =\frac{300-\pi r^2}{2\pi r}\end{array}$
Nyatakan volume tabung (V) sebagai fungsi terhadap variabel $r$.
$\begin{array}{cc}V\left(r\right)& =\pi r^{2}t\\ & ={\pi r^2}^r\left(\frac{300-\pi r^2}{2\pi r}\right)\\ & =\frac{r}{2}(300-\pi r^2)\\ & =150r-\frac{1}{2}\pi r^3\end{array}$
Volume tabung akan maksimum saat $V^{\prime }\left(x\right)=0$, sehingga ditulis
$\begin{array}{cc}{V}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ 150-\frac{3}{2}\pi r^2& =0\\ \frac{3}{2}\pi r^2& =150\\ \pi r^2& =150\times \frac{2}{3}=100\end{array}$
Karena alas tabung berupa lingkaran dengan rumus luasnya $\pi r^2$, maka kita peroleh bahwa luas alas tabung agar volume tabung maksimum adalah $100{\text{cm}}^2$
(Jawaban A)

[collapse]

Nomor 8 
Zhazha akan meniup karet berbentuk bola dengan menggunakan pompa untuk memasukkan udara. Bila laju pertambahan volume udara $40{\text{cm}}^3/\text{detik}$ dan laju pertambahan jari-jari $20\text{cm}/\text{detik}$, maka panjang jari-jari bola adalah $\cdots \text{cm}$.
A. $\frac{1}{\sqrt{\pi }}$                            D. $\frac{1}{3\sqrt{\pi }}$
B. $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$                          E. $\pi$
C. $\frac{1}{2\sqrt{\pi }}$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{array}{cc}\frac{\text{d}V}{\text{d}t}& =40{\text{cm}}^3/\text{detik}\\ \frac{\text{d}r}{\text{d}t}& =20\text{cm}/\text{detik}\end{array}$
Diketahui juga bahwa rumus volume bola ($V$) dinyatakan oleh
$V=\frac{4}{3}\pi r^3$, 
sehingga turunannya terhadap $r$ adalah
$\frac{\text{d}V}{\text{d}r}=4\pi r^2$
Untuk itu, dapat kita tuliskan
$\begin{array}{cc}\frac{\text{d}V}{\text{d}t}& =40\\ \frac{\text{d}V}{\text{d}r}\cdot \frac{\text{d}r}{\text{d}t}& =40\\ 4\pi r^2\cdot 20& =40\\ 80\pi r^2& =40\\ r^2& =\frac{1}{2\pi }\\ r& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\end{array}$
Jadi, panjang jari-jari bola tersebut adalah $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$
(Jawaban B)

[collapse]

Nomor 9

Dari kawat yang panjangnya $500$ meter akan dibuat kerangka balok yang salah satu rusuknya $25$ meter. Jika volume baloknya maksimum, maka panjang dua rusuk lainnya adalah $\cdots$ meter. 
A. $10$ dan $90$                D. $40$ dan $60$
B. $15$ dan $85$                E. $50$ dan $50$
C. $25$ dan $75$

Pembahasan

Misalkan $p=25\text{meter}$
Nyatakan $l$ (lebar balok) dalam $t$ (tinggi balok) dengan menggunakan keliling balok ($k$) tersebut. 
$\begin{array}{cc}k& =500\\ 4(p+l+t)& =500\\ 25+l+t& =125\\ l+t& =100\\ l& =100-t\end{array}$
Nyatakan volume tabung ($V$) sebagai fungsi terhadap variabel $t$. 
$\begin{array}{cc}V\left(t\right)& =p\times l\times t\\ & =25\times (100-t)\times t\\ & =2.500t-25t^2\end{array}$
Volume balok akan maksimum saat $V^{\prime }\left(t\right)=0$, sehingga ditulis
$\begin{array}{cc}{V}^{\prime }\left(t\right)& =0\\ 2.500-50t& =0\\ 50t& =2.500\\ t& =50\end{array}$
Untuk $t=50$, maka $l=100-50=50$. 
Jadi, panjang dua rusuk lainnya adalah $50$ meter.
(Jawaban E)

[collapse]

Nomor 10
Volume balok terbesar yang semua bidang sisinya mempunyai luas $96{\text{cm}}^2$ dan alasnya persegi adalah $\cdots \cdot$
A. $54{\text{cm}}^3$                          D. $84{\text{cm}}^3$
B. $64{\text{cm}}^3$                          E. $94{\text{cm}}^3$
C. $74{\text{cm}}^3$

Pembahasan

Diketahui bahwa panjang dan lebar balok sama, yaitu $p=l=x$.

Nyatakan $t$ (tinggi balok) dalam $x$ dengan menggunakan luas permukaan balok ($L$) tersebut. 
$\begin{array}{cc}L& =2(pl+pt+lt)\\ 96& =2(x^2+tx+tx)\\ 48& =x^2+2tx\\ 2tx& =48-x^2\\ t& =\frac{48-x^2}{2x}\end{array}$
Selanjutnya, nyatakan volume balok ($V$) sebagai fungsi terhadap variabel $x$. 
$\begin{array}{cc}V\left(x\right)& =p\times l\times t\\ V\left(x\right)& =x\times x\times \frac{48-x^2}{2x}\\ V\left(x\right)& =24x–\frac{1}{2}{x}^3\end{array}$
Volume balok akan maksimum saat $V^{\prime }\left(x\right)=0$, sehingga ditulis
$\begin{array}{cc}{V}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ 24-\frac{3}{2}{x}^2& =0\\ \frac{3}{2}{x}^2& =24\\ x^2& =24\times \frac{2}{3}=16\\ x& =4\end{array}$
Jadi, volume balok terbesar adalah
$V\left(4\right)=24\left(4\right)-\frac{1}{2}(4{)}^3=96-32=64{\text{cm}}^3$
(Jawaban B)