Luas dan Volume Daerah yang Berkaitan dengan Integral Bersama Contoh Soalnya

 Luas dan Volume Daerah yang Berkaitan dengan Integral Bersama Contoh Soalnya

      Soal Pilihan Ganda beserta Pembahasannya tentang Luas + Volume Daerah dan Integral

1. Volume daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^2+1$ dan $y=x+3$ jika diputar mengelilingi sumbu-$X$ sejauh ${360}^{\circ }$ adalah $\cdots$ satuan volume.
A. $\frac{117}{5}\pi$                        D. $\frac{7}{5}\pi$
B. $\frac{107}{5}\pi$                        E. $\frac{4}{5}\pi$
C. $\frac{105}{5}\pi$

Penyelesaian

Titik potong dari kurva $y=x^2+1$ dan $y=x+3$ dapat dicari dengan menyamakan fungsinya.
$\begin{array}{cc}y& =y\\ x^2+1& =x+3\\ x^2-x-2& =0\\ (x-2)(x+1)& =0\end{array}$
Diperoleh $x=2$ atau $x=-1$.
Sketsakan grafik dari $y=x^2+1$ (parabola) dan $y=x+3$ (garis lurus) beserta arsiran daerah yang dimaksud.
Daerah yang diarsir berada pada selang $[-1,2]$ yang akan menjadi batas integrasi.
Perhatikan bahwa kurva $y=x+3$ selalu berada di atas kurva $y=x^2+1$.
Volume daerah itu bila diputar mengeliling sumbu-$X$ satu lingkaran penuh kita nyatakan sebagai $V$.
$$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_{-1}^2(y_{\text{atas}}^2-y_{\text{bawah}}^2)\text{d}x\\ & =\pi {\int }_{-1}^2\left(\right(x+3{)}^2-(x^2+1{)}^2)\text{d}x\\ & =\pi {\int }_{-1}^2\left(\right(x^2+6x+9)-(x^4+2x^2+1\left)\right)\text{d}x\\ & =\pi {\int }_{-1}^2(-x^4-x^2+6x+8)\text{d}x\\ & =\pi {[-\frac{1}{5}{x}^5-\frac{1}{3}{x}^3+3x^2+8x]}_{-1}^2\\ & =\pi [-\frac{1}{5}(2^5+(-1{)}^5)-\frac{1}{3}(2^3-(-1{)}^3)+3(2^2+(-1{)}^2)+8(2-(-1\left)\right)]\\ & =\pi [-\frac{33}{5}-3+9+24]\\ & =\pi [-\frac{33}{5}+30]\\ & =\frac{117}{5}\pi \end{array}$$Jadi, volumenya adalah $\frac{117}{5}\pi$ satuan volume.

Jawaban: A

[collapse]

2. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi kurva $y=4x-x^2$ dan $y=-2x+8$ diputar ${360}^{\circ }$ mengelilingi sumbu-$Y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $32\pi$                 C. $16\pi$               E. $4\pi$    
B. $24\pi$                D. $8\pi$      

Penyelesaian

Pertama, buat sketsa kurvanya terlebih dahulu.
Analisis: $y=4x-x^2$
Karena koefisien $x^2$ negatif, maka kurva $y=4x-x^2$ berbentuk parabola yang terbuka ke bawah.
Cek titik potong terhadap sumbu-$X.$
$$\begin{array}{cc}0& =4x-x^2\\ 0& =x(4-x)\end{array}$$Kurva memotong sumbu-$X$ di $(0,0)$ dan $(4,0).$
Absis titik puncak di $x_p=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2(-1)}=2.$ Substitusi, sehingga dihasilkan $y_p=4.$ Jadi, koordinat titik puncak parabola di $(2,4).$
Analisis: $y=-2x+8$
Kurva berupa garis lurus yang melalui titik $(0,8)$ dan $(4,0)$.
Sketsa kedua kurva sebagai berikut.
Daerah yang diarsir merupakan daerah yang dibatasi oleh kedua kurva dan akan diputar mengelilingi sumbu-$Y$ sejauh ${360}^{\circ }.$ Tampak kurva kanan = parabola dan kurva kiri = garis.
Batas integrasi adalah dari $0$ sampai $4.$, ditulis ${\int }_0^4.$
Berikutnya, akan dicari bentuk $x^2.$
Kurva $y=4x-x^2$:
$$\begin{array}{cc}y& =4x-x^2\\ y-4& =4x-x^2-4\\ 4-y& =x^2-4x+4\\ 4-y& =(x-2{)}^2\\ \sqrt{4-y}& =x-2\\ \sqrt{4-y}+2& =x\\ (4-y)+4(4-y)+4& =x^2\\ 8-y+4(4-y)& =x^2\end{array}$$Kurva $y=-2x+8$:
$$\begin{array}{cc}y& =-2x+8\\ y-8& =-2x\\ \frac{8-y}{2}& =x\\ \frac{64-16y+y^2}{4}& =x^2\end{array}$$Dengan demikian, volume benda putar daerah tersebut, yakni sebagai berikut.
$$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_0^4(y_{\text{kanan}}-y_{\text{kiri}})\text{d}y\\ & =\pi {\int }_0^4((8-y+4(4-y\left)\right)-\left(\frac{64-16y+y^2}{4}\right))\text{d}y\\ & =\frac{1}{4}\pi {\int }_0^4\left(\right(32-4y+16\sqrt{4-y})-(64-16y+y^2\left)\right)\\ & =\frac{1}{4}\pi {\int }_0^4(-32+12y-y^2+16\sqrt{4-y})\text{d}y\\ & =\frac{1}{4}\pi {[-32y+6y^2-\frac{1}{3}{y}^3+16\cdot (-\frac{2}{3})(4-y{)}^{3/2}]}_0^4\\ & =\frac{1}{4}\pi [-128+96-\frac{64}{3}+\frac{256}{3}]\\ & =\frac{1}{4}\pi (-32+64)\\ & =8\pi \end{array}$$Jadi, volume benda putar yang terjadi adalah $8\pi$

Jawaban: D

[collapse]

3. Daerah $D$ terletak di kuadran pertama yang dibatasi oleh parabola $y=x^2$, parabola $y=4x^2$, dan garis $y=4$. Volume benda putar yang terjadi bila $D$ diputar terhadap sumbu-$Y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3\pi$                  C. $6\pi$                  E. $20\pi$
B. $4\pi$                  D. $8\pi$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar ketiga kurva yang diberikan berikut.
Daerah yang diarsir merupakan daerah $D$ yang akan diputar terhadap sumbu-$Y$ sejauh ${360}^{\circ }$. Terlihat bahwa daerah itu berada dalam interval $[0,4]$.
Catatan: Jika pada soal tidak menginformasikan sudut putarannya, maka dianggap ${360}^{\circ }$ atau satu putaran.
Perhatikan bahwa,
$\begin{array}{cccc}{x}^2& =y& & \left(x\text{kanan}\right)\\ 4x^2& =y\Rightarrow x^2=\frac{1}{4}y& & \left(x\text{kiri}\right)\end{array}$
Dengan demikian, kita akan peroleh
$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_0^4(x_{\text{kanan}}^2-x_{\text{kiri}}^2)\text{d}y\\ & =\pi {\int }_0^4(y-\frac{1}{4}y)\text{d}y\\ & =\frac{3}{4}\pi {\int }_0^{4}y\text{d}y\\ & =\frac{3}{4}\pi {\left[\frac{1}{2}{y}^2\right]}_0^4\\ & =\frac{3}{8}\pi (4^2-0^2)\\ & =6\pi \end{array}$
Jadi, volume benda putar dari daerah $D$ tersebut adalah $6\pi$ satuan volume.

Jawaban: C

[collapse]

4. Suatu daerah dibatasi oleh kurva $y^2=10x$, $y^2=4x$, dan $x=4$ diputar ${360}^{\circ }$ mengelilingi sumbu-$X$. Volume benda putar yang terjadi adalah $\cdots$ satuan volume
A. $80\pi$                 C. $32\pi$                   E. $18\pi$
B. $48\pi$                 D. $24\pi$

Penyelesaian

Pertama, kita sketsakan dulu kurvanya masing-masing di sistem koordinat sebagai berikut.
Daerah yang dibatasi oleh ketiga kurva tersebut diarsir pada gambar di atas. Bila daerah itu diputar mengelilingi sumbu-$X$ sejauh ${360}^{\circ }$, maka bagiannya akan saling timpang tindih ketika memasuki sudut ${180}^{\circ }$. Karena itu, kita hanya perlu mencari volume benda putar oleh salah satu dari dua daerah yang sama luasnya itu. Misal kita pilih daerah yang atas.
Daerah dibatasi pada interval $[0,4]$. Volume benda putar terhadap sumbu-$X$ sejauh ${360}^{\circ }$ dinyatakan sebagai berikut.
$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_0^4(y_{\text{atas}}^2-y_{\text{bawah}}^2)\text{d}x\\ & =\pi {\int }_0^4(10x-4x)\text{d}x\\ & =6\pi {\int }_0^{4}x\text{d}x\\ & =6\pi {\left[\frac{1}{2}{x}^2\right]}_0^4\\ & =6\pi \left(\frac{1}{2}\right(4{)}^2)-0\\ & =6\pi \left(8\right)=48\pi \end{array}$
Jadi, volume benda putar yang dimaksud sebesar $48\pi$ satuan volume.

Jawaban: B

[collapse]

5. Volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh kurva $x=2\sqrt{3}{y}^2$, sumbu-$Y$, dan di dalam lingkaran $x^2+y^2=1$, diputar mengelilingi sumbu-$Y$ sejauh ${360}^{\circ }$ adalah $\cdots$ satuan volume.
A. $\frac{8}{60}\pi$                     D. $\frac{44}{60}\pi$
B. $\frac{17}{60}\pi$                     E. $\frac{46}{60}\pi$
C. $\frac{34}{60}\pi$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar kedua kurva tersebut berikut ini.
Daerah yang diarsir merupakan daerah yang akan diputar mengelilingi sumbu-$Y$. Kedua daerah itu memiliki luas yang sama, sehingga kita hanya perlu mencari volume benda putar daerah yang satu, lalu dikali $2$.
Misalkan kita akan mencari volume benda putar dari daerah di kuadran pertama.
Titik potong lingkaran dan parabola harus dicari dulu.
Substitusikan $x=2\sqrt{3}{y}^2$ ke persamaan $x^2+y^2=1$.
$\begin{array}{cc}(2\sqrt{3}{y}^2{)}^2+y^2& =1\\ 12y^4+y^2-1& =0\\ (3y^2+1)(4y^2-1)& =0\end{array}$
Diperoleh $3y^2+1=0$ (tidak terpenuhi untuk semua $y$) atau $4y^2-1=0$, berarti $y=\pm \frac{1}{2}$.
Jadi, integral untuk mencari volumenya terpisah pada batas integrasi $y=\frac{1}{2}$.
Perhatikan juga bahwa,
$\begin{array}{cc}x& =2\sqrt{3}{y}^2\Rightarrow x^2=12y^4\\ x^2+y^2& =1\Rightarrow x^2=1-y^2\end{array}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_0^{1/2}\left(12y^4\right)\text{d}y+\pi {\int }_{1/2}^1(1-y^2)\text{d}y\\ & =12\pi {\left[\frac{1}{5}{y}^5\right]}_0^{1/2}+\pi {[y-\frac{1}{3}{y}^3]}_{1/2}^1\\ & =\frac{12}{5}\pi \cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^5+\pi (1-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}{\left(\frac{1}{2}\right)}^3)\\ & =\frac{3}{40}\pi +\pi \left(\frac{24-8-12+1}{24}\right)+\pi \\ & =(\frac{3}{40}+\frac{5}{24})\pi =\frac{17}{60}\pi \end{array}$$Karena benda putar yang terbentuk ada dua dan ukurannya sama, maka volume benda putar secara keseluruhan adalah $2\times \frac{17}{60}\pi =\frac{34}{60}\pi$

Jawaban: C