Minggu, 26 Juli 2020

Metode Pembuktian Matematika

 Metode Pembuktian Matematika 



Fransiska Oktaviana Putri (12)
XI IPS - 3
Senin 27 Juli 2020


Metode Pembuktian Matematika :
A. Metode Pembuktian Langsung
B. Metode Pembuktian Tidak Langsung
C. Induksi Matematika

A. Metode Pembuktian Langsung

Pembuktian langsung dalam Matematika dilakukan dengan menguraikan premis dengan dilandasi oleh difinisi, fakta, aksioma yang ada untuk sampai pada suatu kesimpulan (konklusi).

Contoh :

Buktikan bahwa n bilangan ganjil, maka n² bilangan ganjil

Bukti : 

Diketahui : bahwa n bilangan ganjil 
Karena n bilangan ganjil, maka n=2k+1, dengan k bilangan bulat
n² = (2k+1)² = 4k² + 4k + 1 = 2 (2k²+2k) + 1
Bentuk 2(2k²+2k)+1 adalah bilangan ganjil
Jadi, n² bilangan ganjil.



B. Metode Pembuktian Tidak Langsung

Pembuktian tidak langsung atau pembuktian dengan kemustahilan (reductio ad absurdum) yang dibahas ada 2 cara yaitu :

Kontraposisi

Pembuktian tidak langsung kontraposisi digunakan untuk membuktikan pernyataan implikasi

Untuk membuktikan pernyataan implikasi kita cukup membuktikan kontraposisi dari implikasi pernyataan tersebut
Secara simbolik : p → q ≡ ~q → ~p  
Untuk membuktikan kebenaran p → q, maka kita cukup membuktikan
kebenaran ~q → ~p

Contoh : 

Buktikan bahwa: “jika n2 bilangan ganjil, maka n bilangan ganjil”.

Bukti :

Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan membuktikan
            kebenaran kontraposisinya.
Misalnya : p = n2 bilangan ganjil dan q = n bilangan ganjil
Apakah p → q benar ? Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?
Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka n bilangan genap, sehingga n dinyatakan dengan sebagai n = 2k, k bilangan asli.
Akibatnya n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k).
Artinya n2  bilangan genap.
Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjil adalah BENAR,
sehingga kontraposisi ~q →~p juga BENAR.
Jadi implikasi p → q benar , ini berarti n2 bilanganganjil maka n adalah
bilangan ganjil.

Kontradiksi

Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atau teorema yang ada. Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterima dan akibatnya konklusi yang ada benar berdasarkan premis yang ada.

Contoh :

Buktikan bahwa : “Untuk semua bilangan bulat n, jika n2 ganjil, maka n ganjil”.

Bukti : 

Andaikan bahwa q salah, atau ~q benar yaitu n bukan bilangan bulat
ganjil, maka n bilangan bulat genap.
Dapat dimisalkan n = 2k dengan k bilangan bulat.
Dengan demikian maka n2 = (2k)2 atau n2 = 4k2
Ini menunjukkan bahwa  n2 = bilangan bulat genap (~p)
Terjadilah suatu kontradiksi : yang diketahui p benar, sedangdari langkah-langkah logis diturunkan ~p benar.
Oleh karena itu kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar yang berarti ~q salah atau q benar.


C. Metode Induksi Matematika

Induksi matematika adalah salah satu metode untuk membuktikan suatu pernyataan tertentu yang berlaku untuk bilangan asli.

Prinsip Induksi Matematika :
Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n.
Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1) juga benar, berakibat P(n) benar untuk semua n.

Contoh :

Buktikan bahwa : “1 + 3 + 5 +  … + (2n-1) = n2, untuk semua bilangan
                 asli n”.
Bukti : 

Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n2
P(1) benar, sebab 1 = 1
Bila P(k) benar, yaitu apabila ; 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k-1) = k2, maka
1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k-1 + 2k+1= (1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k- 1 + 2k+1.
= k2 + 2k + 1
= (k + 1)2
Sehingga P(k+1) benar.



Terimakasih🙏







di Tidak ada komentar:

Minggu, 12 Juli 2020

Logika Matematika

   Logika Matematika




Fransiska Oktaviana Putri (13)
XI IPS 3
Senin 13 Juli 2020


Di dalam ilmu matematika, kita harus mempelajari logika. Buat apa? Agar kita bisa mengasah otak kita dalam penarikan kesimpulan-kesimpulan. Jadi, ke depannya kita tidak asal menduga sesuatu.


1. Pernyataan dan Kalimat Terbuka


Seperti pada pengertian di atas, pernyataan adalah kalimat yang bisa benar atau bisa salah. Sementara kalimat terbuka adalah jenis kalimat “yang belum diketahui kebenarannya”. Sehingga, untuk menentukan benar atau salahnya, kita perlu pengamatan lebih lanjut.

Contoh : 

" 12x + 6 = 91 (pernyataan ini dinamakan kalimat terbuka karena masih harus dibuktikan kebenarannya. Apakah benar 12x jika dijumlahkan dengan 6 akan menghasilkan 91?) ".


2. Ingkaran/negasi/penyangkalan 

Dari sebuah pernyataan, kita dapat membuat pernyataan baru berupa “ingkaran/negasi/penyangkalan” atas pernyataan tadi. Berikut adalah tabel kebenaran ingkaran:


B = pernyataan bernilai benar

S = pernyataan bernilai salah

Artinya, jika suatu pertanyaan (p) benar, maka ingkaran (q) akan bernilai salah. Begitu pula sebaliknya. Berikut adalah contoh dalam matematika:

  • p: Besi memuai jika dipanaskan (pernyataan bernilai benar)
  • ~p: Besi tidak memuai jika dipanaskan (pernyataan bernilai salah).

Contoh lain:

  • p: Semua unggas adalah burung.
  • ~p: Ada unggas yang bukan burung.


3. Pernyataan Majemuk


Dalam ilmu matematika, terdapat 4 macam pernyataan majemuk:

a. Konjungsi

Konjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “dan”. Sehingga, notasi “p^q” dibaca “p dan q”.

Tabel nilai kebenaran konjungsi:


Dari tabel di atas, kita dapat melihat bahwa konjungsi hanya akan benar jika kedua pernyataan (p dan q) benar.

Contoh:

  • p: 3 adalah bilangan prima (pernyataan bernilai benar)
  • q: 3 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai benar)
  • p^q: 3 adalah bilangan prima dan ganjil (pernyataan bernilai benar)

b. Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “atau”. Sehingga notasi “pVq” dibaca “p atau q”.

Tabel nilai kebenaran disjungsi:



Jika kita lihat pada tabel kebenaran, disjungsi hanya salah jika kedua pernyataan (p dan q) salah.

Contoh:

  • p: Paus adalah mamalia (pernyataan bernilai benar)
  • q: Paus adalah herbivora (pernyataan bernilai salah)
  • pVq: Paus adalah mamalia atau herbivora (pernyataan bernilai benar)
c. Implikasi 

Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika… maka…” Sehingga notasi dari “p->q” dibaca “Jika p, maka q”. Adapun tabel nilai kebenaran dari implikasi:

Dari tabel terlihat bahwa implikasi hanya bernilai salah jika anteseden (p) benar, dan konsekuen (q) salah.

Contoh:

  • p: Andi belajar dengan aplikasi ruangguru. (pernyataan bernilai benar)
  • q: Andi dapat belajar di mana saja. (pernyataan bernilai benar)
  • p->q: Jika Andi belajar dengan aplikasi ruangguru, maka Andi dapat belajar di mana saja (pernyataan bernilai benar)
d. Biimplikasi

Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “… jika dan hanya jika”. Sehingga, notasi dari “p<-> q” akan dibaca “p jika dan hanya jika q”.

Tabel nilai kebenaran Biimplikasi:


Dari tabel kebenaran tersebut, dapat kita amati bahwa biimplikasi akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya (pernyataan p dan q) bernilai sama. Baik itu sama-sama benar, atau sama-sama salah.

Contoh:

  • p: 30 x 2 = 60 (pernyataan bernilai benar)
  • q: 60 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai salah)
  • p<->q: 30 x 2 = 60 jika dan hanya jika 60 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai salah).



- Soal berdasarkan materi, logika matematika beserta jawaban -

1. Ingkaran dari pernyataan “semua makhluk hidup perlu makan dan minum” adalah …

a. Semua makhluk hidup tidak perlu makan dan minum

b. Ada makhluk hidup yang tidak perlu makan atau minum

c. Ada makhluk hidup yang tidak perlu makan dan minum

d. Semua makhluk hidup tidak perlu makan dan minum

e. Semua makhluk hidup perlu makan tetapi tidak perlu 

Pembahasan : Ingkaran dari “semua” adalah “ada” sedangkan ingkaran “dan” adalah “atau”. Jadi, ingkaran untuk soal di atas adalah: Ada makhluk hidup yang tidak perlu makan atau minum.

 JAWABAN: B.

2. Diketahui premis-premis:

Premis 1: Jika Mesir bergolak dan tidak aman maka beberapa warga asing dievakuasi.

Premis 2: Semua warga asing tidak dievakuasi. Kesimpulan dari kedua premis tersebut adalah…

a. Jika Mesir tidak bergolak atau aman maka beberapa warga asing dievakuasi

b. Jika semua warga asing dievakuasi maka Mesir bergolak dan tidak aman

c. Mesir bergolak tetapi aman.

d. Mesir tidak bergolak atau aman. e. Mesir tidak bergolak dan semua warga asing tidak dievakuasi.

Pembahasan : Misalkan: p = Mesir bergolak q = Mesir tidak aman r = beberapa warga asing dievakuasi Maka soal di atas menjadi: Premis 1: ( p ˄ q ) ⇒ r Premis 2: ~r Kesimpulan: ~( p ˄ q ) ~( p ˄ q ) = ~p ˅ ~q “Mesir tidak bergolak atau aman” 

JAWABAN: D.

di Tidak ada komentar:

Selasa, 16 Juni 2020

Soal Trigonometri

 SOAL TRIGONOMETRI 
 
                                                                         Remedial PAT Matematika

                                                         
    
                 

Fransiska Oktaviana Putri

         X IPS - 3

  Selasa 16 Juni 2020 

Perbandingan Trigonometri


Contoh 1 : Tentukanlah nilai dari \sin 120^{\circ}+\cos 201^{\circ}+\cos 315^{\circ}!
Pembahasan :
\sin 120^{\circ} berada pada kuadran 2, sehingga nilainya tetap positif dengan besar sama seperti 
\sin 120^{\circ} = \sin (180-60)^{\circ} = \sin 60^{\circ} = \frac{1}{2} \sqrt{3}
\cos 120^{\circ} berada pada kuadran 3, sehingga nilainya negatif dengan besar sama seperti 
\cos 120^{\circ} = \cos (180+30)^{\circ} = - \cos 30^{\circ} = - \frac{1}{2} \sqrt{3}
\cos 315^{\circ} berada pada kuadran 4, sehingga nilainya positif dengan besar sama seperti 
\cos 315^{\circ} = \cos (360-45)^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{2} \sqrt{2}

Contoh 2: Diketahui segitiga ABC dengan A(3, 1), B(5, 2), dan C(1, 5). Besar sudut BAC adalah 
Pembahasan : 


Mencari panjang AC:
  \[ \overrightarrow{AC} = (1-3, 5-1)=(-2,4) \]
  \[ |RQ|= \sqrt{(-2)^{2} + 4^{2}} =\sqrt{ 4 + 4 }= \sqrt{8} \]

Mencari panjang AB:
  \[ \overrightarrow{AB} = (5 - 3, 2 - 1) = (2, 1) \]
\[ |RQ|= \sqrt{2^{2} + 1^{2}} =\sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \]
Mencari besar sudut A:
  \[ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = |AC| \cdot |AB| \cdot Cos \; A \]
  \[ (-2,4) \cdot (2, 1) = \sqrt{8} \cdot \sqrt{5} \cdot Cos \; A \]
  \[ -4 + 4 = \sqrt{40} \cdot Cos \; A \]
  \[ 0 = \sqrt{40} \cdot Cos \; A \]
  \[ Cos \; A = \frac{\sqrt{40}}{0} \]
  \[ Cos \; A = 0 \rightarrow A = 90^{o} \]
Jadi, besar sudut A adalah = 90o

Contoh 3 : Jika cos(γ) = 22 dan sudut γ lancip, tentukan nilai dari csc2(γ)−cot2(γ) 
Pembahasan :

cos(γ) = sampingmiring = 22
samping = 2
miring = 2
depan = 22−(2)2 = 2

Sesuai definisi
csc(γ) = 22
cot(γ) = 22 = 1
csc2(γ) − cot2(γ) = (22)2  − (1)2
csc2(γ) − cot2(α) = 2 − 1
csc2(γ) − cot2(α) = 1

Jadi, csc2(γ) − cot2(γ) = 1

Contoh 4 : Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, -3, 2), dan R (-1, 0, 2). Besar sudut PQR adalah ....
Pembahasan : 

Mencari panjang RQ:
  \[ \overrightarrow{RQ} = (2-(-1), -3-0, 2-2)=(3,-3,0) \]
  \[ |RQ|= \sqrt{3^{2}+(-3)^{2}+0^{2}} =\sqrt{9+9+0}= \sqrt{18} \]
Mencari panjang RP:
  \[ \overrightarrow{RP} = (0-(-1), 1-0, 4-2)=(1,1,2) \]
  \[ |RQ|= \sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}} =\sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \]
Mencari besar sudut R:
  \[ \overrightarrow{RQ} \cdot \overrightarrow{RP} = |RP| \cdot |RQ| \cdot Cos \; R \]
  \[ (3,-3,0)(1,1,2) = \sqrt{18} \cdot \sqrt{6} \cdot Cos \; R \]
  \[ 3 - 3 + 0 = \sqrt{108} \cdot Cos \; R \]
  \[ 0 = \sqrt{108} \cdot Cos \; R \]
  \[ Cos \; R = \frac{\sqrt{108}}{0} \]
  \[ Cos \; R = 0 \rightarrow R = 90^{o} \]
Jadi, besar sudut R adalah 90o


Contoh 5 : 
△ABC siku-siku di B. Jika cos⁡A=34, nilai cot A adalah ....
Pembahasan :

Cosinus sudut adalah perbandingan panjang sisi samping sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu,
cos⁡A=34=ABAC
Misalkan AB=3 dan AC=4, maka dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
BC=AC2−AB2=(4)2−(3)2=7



Cotangen sudut adalah perbandingan panjang sisi samping sudut terhadap sisi depan sudutpada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu,
cot⁡A=ABBC=37=377
Jadi, nilai 

Sudut Berelasi
Contoh 1 : Jika (x + 20°) adalah sudut lancip, tentukan nilai dari  

tan(x+110∘)2cot(x+20∘)

Pembahasan :


tan (x + 110°) = tan (90° + (x + 20°))
Karena (x + 20°) lancip, maka (90° + (x + 20°)) adalah sudut kuadran II, sehingga tangen bernilai negatif.
tan (90° + (x + 20°)) = -cot (x + 20°)

tan(x+110∘)2cot(x+20∘)=−cot(x+20∘)2cot(x+20∘)=−12

























Contoh 2 : Perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya

sin 30°
tan 40°
cos 53°

Pembahasan :

sin 30° = sin (90° − 70°)
= cos 70°
tan 40° = tan (90° − 50°)
= cot 50°
cos 53° = cos (90° − 37°)
= sin 37°

Contoh 3 : Hitunglah nilai dari sin 150° ...
Pembahasan :
Menggunakan komplemen 90 sehingga memperoleh sin 150° = (90° + 60°) = cos 60° = 1/2 

Contoh 4 : Diketahui cot (x + 36°) = tan 2x. Jika 2x adalah sudut lancip, tentukan nilai x !
Pembahasan :
cot (x + 36°) = tan 2x
Karena 2x sudut lancip, pastilah 2x terletak dikuadran I. Dengan menggunakan relasi sudut kuadran I, maka :
tan 2x = cot (90° − 2x)
Sehingga
cot (x + 36°) = cot (90° − 2x)
x + 36 = 90° − 2x
3x = 54
x = 18

Contoh 5 : Hitunglah hasil dari ... 
a. sin 120° 
b. cos 135°

 







Pembahasan :



 




a. sin 120°  = sin (90 ° + 30°)







  



⇒ sin 120°  = cos 30°










⇒ sin 120 ° = ½√3 




b. tan 135°  = tan (90°  + 45°) 
⇒ tan 135°  = -cot 45°
⇒ tan 135°  = -1 


Aturan Sinus dan Cosinus Dan Luas Segitiga

Contoh 1 : Pada segitiga ABC, sisi AC = 16 cm, AB = 8 √2 cm, sudut B = 45° tentukan sudut-sudut segitiga ABC yang lainnya.








Pembahasan:



soal aturan sin cos tan no 2

Contoh 2 : Diketahui bahwa segitiga ABC memiliki sudut A=60 0 dan sudut B=300 dengan garis AB = 140 dan AC = 80, berapa panjang garis CB ?








Pembahasan : 

soal aturan sin cos tan no 9
Contoh 3 : Suatu segitiga dengan panjang sisi berturut-turut adalah 3, 5 dan 7. Jika θ adalah sudut yang berada di depan sisi yang panjangnya 7, tentukan sin θ dan tan θ !




Pembahasan :










 









Dengan aturan cosinus :
cos θ = 32+52−722.3.5
cos θ = −12





Karena cos θ bernilai negatif, maka θ adalah sudut tumpul (kuadran II)
θ = 180° − 60°
θ = 120°
sin θ = sin 120°
sin θ = sin (180° − 60°)
sin θ = sin 60°  (K.II sinus positif)
sin θ = 12√3

tan θ = tan 120°
tan θ = tan (180° − 60°)
tan θ = −tan 60°  (K.II tangen negatif)
tan θ = −√3

Contoh 4 : Diketahui sebuah segitiga ABC memiliki sisi dengan panjang a = 10 cm c = 12 cm
 




besar sudut B = 60̊. Hitung panjang sisi b !

b = a + c  – 2ac cos B 
b = 100+144 – 44 cos 60̊ 
b = 244 – 44(0,5) 
b = 244 – 22 
b = 222 
b = 14,8997 
Jadi, panjang sisi b adalah 14,8997 cm

Contoh 5 : △ ABC dengan panjang sisi a = 4 cm , ∠A = 120° , dan ∠B = 30°. 
Panjang sisi c ...

Pembahasan : 



Persamaan Trigonometri







 Contoh 1 :  Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 2 sin x = 1 , dengan 0o ≤ x ≤ 360o

  soal persamaan trigonometri dan jawaban no 4-1

 Contoh 2 : Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari cos x =  ½ ….

Pembahasan : 
 

Contoh 3 : Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x =  ½ …..

Pembahasan : 

Contoh 4 : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin x = sin 2/10 
π, 0 ≤ x ≤ 2π …..
Pembahasan :

Contoh 5 :
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + 7sin x - 4 = 0, untuk 0 ≤ x ≤ 360° adalah ...
Pembahasan :

cos 2x + 7sin x - 4 = 0
(1 - 2sin2x) + 7sin x - 4 = 0
-2sin2x + 7sin x - 3 = 0
2sin2x - 7sin x + 3 = 0
(2sin x - 1)(sin x - 3) = 0
sin x = 1/2  atau  sin x = 3

sin x = 3  →  tidak mempunyai solusi

sin x = 1/2,  0° ≤ x ≤ 360°
Sinus bernilai positif di kuadran I dan II.
K.I   →  x = 30°
K.II  →  x = 180° - 30° = 150°

Jadi, HP = {30°, 150°}
 
Grafik Trigonometri
Contoh 1 : Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi trigonometri di bawah ini !
a. f(x) = 2 sin 2x + 5
b. f(x) = -3 cos 3(x+90°) - 8
Pembahasan :
a. f(x) = 2 sin 2x + 5 → a = 2 , c = 5
Nilai maksimum = |a| + c = |2| + 5 = 7
Nilai minimum = -|a| + c = -|2| + 5 = 3
b. f(x) = -3 cos 3(x+90°) - 8 → a = -3 , c = -8
Nilai maksimum = |a| + c = |-3| + |-8| = 11


Contoh 2 : Nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi y=3 sin 2x adalah . . . .

Pembahasan : 

y=3 sin 2x

Nilai maksimum = | 3 | = 3
Nilai minimum = -| 3 | = -3 (D.)

Contoh 3 : Persamaan fungsi trigonometri yang sesuai pada grafik adalah ….











 Pembahasan : 
Grafik fungsi trigonometri merupakan bentuk grafik fungsi sinus. Persamaan umum grafik fungsi trigonometri untuk fungsi sinus adalah:
  \[ y = A \; \textrm{Sin} \; k (x \pm \alpha ) \pm c \]
Menghitung banyaknya gelombang dalam 1 periode (k):
Berdasarkan informasi grafik fungsi trigonometri yang diberikan pada soal, diketahui bahwa pada rentang - \frac{pi}{6} sampai dengan \frac{5 \pi }{6} memuat setengah periode.

\[ \frac{\pi}{k} = \left( \frac{5 \pi}{6} - \left( - \frac{\pi}{6} \right) \right) \]
  \[ \frac{ \pi }{k} = \frac{5 \pi}{6} + \frac{\pi}{6} \]
  \[ \frac{ \pi }{k} = \frac{6 \pi}{6} \]
  \[ k = \frac{6 \pi}{6 \pi} = 1 \]
Jadi banyaknya gelombang dalam satu periode adalah 1 (k = 1).
Mencari nilai Amplitudo (A): nilai tertinggi yang dapat dicapai grafik fungsi trigonometri adalah 2 atau – 2 , sehingga nilai amplitudonya sama dengan 2 (A = 2).
Grafik fungsi trigonometri yang diberikan pada soal bergeser sejauh \frac{\pi}{6} ke arah kiri, sehingga persamaan akan mendapat tambahan + {\pi}{6}.
Jadi, persamaan grafik fungsi trigonometri yang sesuai dengan soal adalah:
  \[ y = 2 \cdot Sin \; 1 \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \]
  \[ y = 2 Sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \]

Contoh 4 : Diketahui fungsi f(x) = \sqrt{2} Cos 3x + 1. Jika nilai maksimum f(x) adalah a dan nilai minimum f(x) adalah b maka nilai a2 + b2 = ….
Pembahasan :
Diketahui fungsi f(x):
  \[ f(x) = \sqrt{2} Cos \; 3x + 1 \]
Ingat bahwa nilai maksimum fungsi cosinus adalah 1 dan nilai minimum fungsi cosinus adalah – 1 .
Nilai maksimum = a, maka
  \[ a = \sqrt{2} \cdot 1 + 1 \]
  \[ a = \sqrt{2} + 1 \]
Nilai minimum = b, maka
  \[ b = \sqrt{2} \cdot - 1 + 1 \]
  \[ b = - \sqrt{2} + 1 \]
Jadi, nilai a2 + b2 adalah
  \[ a^{2} + b^{2} = (\sqrt{2} + 1)^{2} + (\sqrt{2} - 1)^{2} \]
  \[ = ( 2 + 2 \sqrt{2} + 1) + ( 2 - 2 \sqrt{2} + 1) \]
  \[ = 3 + 2 \sqrt{2} + 3 - 2 \sqrt{2} \]
  \[ = 6 \]

Contoh 5 : Fungsi sesuai dengan grafik berikut adalah

Pembahasan : 

 Beranjak dari grafik sinus: karena kurva bergeser (ke kiri) sejauh 
π2, maka bentuk umum grafik fungsinya adalah f(x)=y=asin⁡k(x−c)
.
Untuk grafik ini, nilai c yang menentukan pergeseran kurva adalah −π2 (tandanya negatif, karena grafik bergeser ke kiri).

Dimulai dari titik x=−π2 yang nilai fungsinya 0, grafik fungsi kembali bernilai 0 dan berulang kembali di titik x=3π2, sehingga periode grafik fungsinya adalah 3π2–(−π2)=2π.

Dengan demikian

k=2πPeriode=2π2π=1Nilai a ditentukan oleh nilai maksimum dan nilai minimum fungsi, yakni

a=N. Maksimum−N. Minimum2=2−(−2)2=2


Maka, rumus grafik fungsinya adalah = f(x)=2sin⁡1(x+π2)=2sin⁡(x+π2)
f(x)=2sin1(x+π2)=2sin(x+π2)




di Tidak ada komentar:
Langganan: Postingan (Atom)

Pendapat dan Saran Pembelajaran Online

Nama      : Fransiska Oktaviana Putri No. Absen : 12 Kelas     : XI IPS 3   Pendapat dan Saran Pembelajaran Online Pembelajaran online adala...